이항 정리 및 예제



그 이항 정리 (a + b) 형태의 표현을 개발하는 법을 알려주는 방정식입니다.n 어떤 자연수 n. 이항은 (a + b)와 같은 두 요소의 합보다 크지 않습니다. 그것은 또한 우리가 주어진 용어를 알 수있게합니다.kbn-k 그것과 관련된 계수는 무엇입니까?.

이 정리는 일반적으로 영어 발명가, 물리학 자 및 수학자 Sir Isaac Newton에 기인합니다. 그러나 중동에서는 그 존재가 이미 알려져 있었고, 1000 년 전후로 여러 기록이 발견되었다..

색인

  • 1 개의 조합 번호
  • 2 데모
  • 3 예
    • 3.1 신원 1
    • 3.2 신분 2
  • 4 또 다른 데모
    • 4.1 유도에 의한 시연
  • 5 호기심
  • 6 참고 문헌

조합 번호

이항 정리는 수학적으로 다음과 같이 말합니다 :

이 표현식에서 a와 b는 실수이고 n은 자연수입니다..

데모를하기 전에 필요한 기본 개념을 살펴 보겠습니다..

k에서 n의 조합 수 또는 조합은 다음과 같이 표현된다 :

이 형식은 n 개의 요소 집합에서 k 개의 요소가 포함 된 하위 집합의 수를 선택할 수있는 값을 나타냅니다. 대수 표현은 다음과 같습니다.

예를 들어 봅시다 : 우리가 7 개의 볼 그룹을 가지고 있다고 가정합니다. 그 중 2 개는 빨간색이고 나머지는 파란색입니다.

우리는 얼마나 많은 방법으로 우리가 그들을 연속적으로 주문할 수 있는지 알고 싶습니다. 한 가지 방법은 두 개의 빨간색을 첫 번째 및 두 번째 위치에 배치하고 나머지는 나머지 위치에 배치하는 것입니다..

앞의 경우와 마찬가지로 빨간 공을 첫 번째와 마지막 위치에 각각주고 파란색 공으로 다른 점을 차지할 수 있습니다..

이제 우리가 볼을 연속적으로 주문할 수있는 방법을 계산하는 효과적인 방법은 조합 수를 사용하는 것입니다. 각 위치는 다음 세트의 요소로 볼 수 있습니다.

다음으로 두 요소의 하위 집합 만 선택하면됩니다. 여기서 각 요소는 빨간색 볼이 차지할 위치를 나타냅니다. 다음과 같은 관계에 따라이 선택을 할 수 있습니다.

이런 식으로, 우리는 그런 공을 분류하는 21 가지 방법이 있음을 알았습니다..

이 예제의 일반적인 개념은 이항 정리의 데모에서 매우 유용합니다. 특별한 경우를 살펴 보자 : n = 4이면 (a + b)4, 그것은 아무것도 아닌 것입니다 :

이 제품을 개발할 때, 우리는 네 가지 요소 (a + b) 각각의 요소를 곱하여 얻은 용어의 합계를가집니다. 따라서 우리는 다음과 같은 형식의 용어를 갖게 될 것입니다.

양식의 기간을4, 다음과 같은 방법으로 곱하면됩니다.

이 요소를 얻는 방법은 단 한 가지뿐입니다. 그러나 지금 우리가 양식의 용어를 찾는다면 어떻게 될까요?2b2? "a"와 "b"는 실수이므로 교환 법칙이 유효하기 때문에이 용어를 얻는 방법은 화살표로 표시된 멤버와 곱하는 것입니다.

이러한 모든 작업을 수행하는 것은 일반적으로 다소 지루하지만, "a"라는 용어는 4 가지 요소 집합에서 두 가지 "a"를 선택할 수있는 방법을 여러 가지 방법으로 알기 원한다면 앞의 예제를 사용할 수 있습니다. 그래서, 우리는 다음과 같은 것을 가지고 있습니다 :

그래서, 우리는 식 (a + b)의 최종 전개에서,4 우리는 정확하게 6a를 가질 것이다.2b2. 다른 요소에 대해 동일한 아이디어를 사용하면 다음을 수행해야합니다.

그런 다음 이전에 얻은 표현식을 추가하면 다음을 수행해야합니다.

"n"이 임의의 자연수 인 일반적인 경우에 대한 공식 데모입니다..

데모

(a + b)를 개발할 때 남아있는 용어는n ~의 형식이다.kbn-k, 여기서, k = 0, 1, ..., n이다. 이전 예제의 아이디어를 사용하여 "n"요소에서 "k"변수 "a"를 선택하는 방법이 있습니다.

이 방법을 선택하면 n-k 변수 "b"가 자동으로 선택됩니다. 이것으로부터 그것은 다음과 같습니다 :

예제들

고려 (a + b)5, 그 발전은 무엇인가??

이항 정리에 의해 우리는 :

이항 정리는 전체 전개를 수행하지 않고도 특정 용어의 계수가 무엇인지 알기를 원하는식이 있다면 매우 유용합니다. 예를 들어 다음과 같은 질문을 할 수 있습니다 : x의 계수는 얼마입니까?7및9 (x + y)16?

이항 정리에 따르면 계수는 다음과 같습니다.

또 다른 예는 다음과 같습니다. x의 계수는 얼마입니까?5및8 (3x-7y)13?

먼저 표현을 편리하게 다시 작성합니다. 이것은 :

그런 다음 이항 정리를 사용하여 원하는 계수는 k = 5 일 때입니다.

이 정리의 사용에 대한 또 다른 예는 아래에 언급 된 것과 같은 몇 가지 일반적인 정체성의 증명에 있습니다.

신원 1

"n"이 자연수 인 경우 다음을 수행해야합니다.

데모를 위해 우리는 "a"와 "b"가 모두 1의 값을 갖는 이항 정리를 사용합니다.

이 방법으로 우리는 첫 번째 정체성을 입증했습니다..

신분 2

"n"이 자연수이면,

이항 정리에 의해 우리는 :

또 다른 데모

우리는 귀납적 방법과 파스칼 정체성을 사용하여 이항 정리에 대한 다른 데모를 만들 수 있습니다. "n"과 "k"가 n ≥ k를 만족하는 양의 정수이면 다음과 같습니다.

유도에 의한 시위

우선 유도 성 기본이 성취되었음을 봅시다. n = 1이면 다음을 수행해야합니다.

실제로, 우리는 그것이 성취 된 것을 봅니다. 자, n = j가 성취되도록하자.

우리는 n = j + 1에 대해 다음과 같은 결과를 얻고 싶습니다.

그래서, 우리는해야합니다 :

가설을 통해 우리는 다음과 같이 알고 있습니다.

그런 다음 distributive 속성을 사용합니다.

결과적으로 우리가 가진 각각의 요약을 개발하라.

이제 우리가 편리한 방식으로 그룹화한다면 우리는 다음을 수행해야합니다.

파스칼의 정체성을 사용하여 우리는 다음을 수행해야합니다.

마지막으로 다음 사항에 유의하십시오.

그러므로 우리는 이항 정리가 자연수에 속하는 모든 "n"에 대해 충족된다는 것을 알게되고, 이것으로 테스트가 끝납니다.

호기심

결합 수 (nk)는 이항 계수 (a + b)의 발달에 나타나는 계수이기 때문에 이항 계수라고도합니다.n.

아이작 뉴턴 (Isaac Newton)은 지수가 실수 인 경우에 대한 정리를 일반화했다. 이 정리는 뉴턴 이항 정리로 알려져있다..

이미 고대에이 결과는 n = 2 인 특별한 경우에 대해 알려졌다. 이 사례는 요소들 유클리드.

참고 문헌

  1. Johnsonbaugh Richard. 이산 수학 PHH
  2. 케네스 .H. Rosen, 이산 수학과 응용. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Seymour Lipschutz 박사 & Marc Lipson. 이산 수학. McGRAW-HILL.
  4. Ralph P. Grimaldi. 이산 및 조합 수학. 애디슨 - 웨슬리 이베로 아메리 카나
  5. 베르데 스타 루이스 ... 이산 수학과 결합 학자.