바리 뇽의 정리 및 실습



그 바리 뇽의 정리 어떤 사변형에서 어떤 점이 계속 측면에 결합되면 평행 사변형이 생성된다는 것을 입증합니다. 이 정리는 Pierre Varignon에 의해 공식화되어 1731 년에 출판되었다. 수학의 요소".

이 책의 출간은 사망 한 지 수년이 흘렀다. Varignon이이 정리를 제시 한 사람이기 때문에, 평행 사변형은 그의 이름을 따서 명명되었습니다. 이 정리은 유클리드 기하학을 기반으로하며 사변형의 기하학적 관계를 제시합니다..

색인

  • 1 바리 뇽의 정리는 무엇입니까??
  • 2 예
    • 2.1 첫 번째 예
    • 2.2 두 번째 예제
  • 3 연습 문제 해결
    • 3.1 운동 1
    • 3.2 운동 2
    • 3.3 운동 3
  • 4 참고

바리 뇽의 정리는 무엇입니까??

Varignon은 사변형의 중간 점에 의해 정의되는 그림은 항상 평행 사변형을 만들 것이며,이 영역은 평평하고 볼록한 경우 사변형의 면적의 절반이 될 것이라고 주장했습니다. 예 :

그림에서 우리는 변의 중간 점이 E, F, G 및 H로 표현되는 영역 X가있는 사변형을 볼 수 있으며, 조인 될 때 ​​평행 사변형을 형성합니다. 사변형의 면적은 형성되는 삼각형의 면적의 합이며,이 중 절반은 평행 사변형의 면적에 해당합니다..

평행 사변형의 면적이 사변형의 면적의 절반이기 때문에, 평행 사변형의 둘레를 결정할 수 있습니다.

따라서 둘레는 사변형의 대각선 길이의 합과 같습니다. 이것은 사변형의 중앙값이 평행 사변형의 대각선이기 때문입니다.

다른 한편, 사변형의 대각선 길이가 정확히 동일하면 평행 사변형이 다이아몬드가됩니다. 예 :

그림에서 사변형의 측면의 중간 점을 결합하여 마름모를 얻을 수 있음을 알 수 있습니다. 한편, 사변형의 대각선이 수직 인 경우, 평행 사변형은 직사각형이됩니다.

또한, 평행 사변형은 사변형이 동일한 길이를 갖는 대각선을 가지며 또한 수직.

이 정리은 평평한 사변형에서 성취 될뿐만 아니라 공간 기하학 또는 대형 차원에서도 구현됩니다. 즉, 볼록하지 않은 사변형에서. 예를 들어 팔면체가 될 수 있는데, 여기서 중점은 각면의 중심이고 평행 육면체를 형성합니다.

이와 같이, 다른 도형의 중점을 연결함으로써, 평행 사변형을 얻을 수있다. 이것이 정말로 사실인지를 검증하는 간단한 방법은 반대편이 확장 될 때 평행해야한다는 것입니다.

예제들

첫 번째 예

반대편의 연장은 그것이 평행 사변형임을 보여줍니다 :

두 번째 예

다이아몬드의 중간 점에 합류하면 직사각형이됩니다.

정리는 사변형의 변의 중간에 위치한 점들의 합집합에 사용되며, 삼각형, 펜타 - 섹션 또는 심지어 무한 수의 섹션과 같은 다른 유형의 점에도 사용될 수 있습니다 ( n 번째), 사변형의 변을 비례하는 구획으로 나누기 위해.

해결 된 연습 문제

운동 1

우리는 그림에서이 영역의 중간 점이 PQSR 인 영역 Z의 사변형 ABCD를가집니다. 바리 뇽의 평행 사변형이 형성되어 있는지 확인하십시오..

솔루션

PQSR 포인트에 합류 할 때 Varignon의 평행 사변형이 형성된다는 것을 확인할 수 있습니다. 정확하게 말하면, 사변형의 중간 점이 주어 졌기 때문입니다.

이를 증명하기 위해 중간 점 PQSR이 통합되어 다른 사변형이 형성되는 것을 볼 수 있습니다. 그것이 평행 사변형임을 보여주기 위해서 C 지점에서 A 지점까지 직선을 그리면 CA가 PQ 및 RS와 평행하다는 것을 알 수 있습니다.

마찬가지로 PQRS면을 확장하면 다음 그림과 같이 PQ와 RS가 평행하다는 것을 알 수 있습니다.

운동 2

그것은 모든면의 길이가 같은 직사각형을 가지고 있습니다. 이들 변의 중점을 결합 할 때, 마름모 ABCD가 형성되고, 이는 AC = 7cm 및 BD = 10cm의 2 개의 대각선으로 나누어지며, 이는 사각형의 변의 측정치와 일치한다. 다이아몬드와 직사각형 영역을 결정하십시오..

솔루션

결과 평행 사변형의 면적이 사변형의 절반이라는 것을 기억하면 대각선 길이가 사각형의 변과 일치한다는 것을 알 수있는 영역을 결정할 수 있습니다. 그래서 당신은해야한다 :

AB = D

CD = d

A직사각형 = (AB * CD) = (10cm * 7 cm) = 70 cm2

A마름모 = A 직사각형 / 2

A마름모 = 70cm2 / 2 = 35cm2

운동 3

우리는 그림에서 점 EFGH의 합집합을 갖는 사변형을 가지며 세그먼트의 길이가 주어집니다. EFGH의 합집합이 평행 사변형인지 결정합니다..

AB = 2.4 CG = 3.06

EB = 1.75GD = 2.24

BF = 2.88 DH = 2.02

FC = 3.94 HA = 2.77

솔루션

세그먼트의 길이가 주어지면 세그먼트간에 비례가 있는지 확인할 수 있습니다. 즉, 우리는 이들이 평행 한지를 알 수 있습니다. 다음과 같은 방법으로 사변형의 세그먼트를 관련시킵니다 :

- AE / EB = 2.4 / 1.75 = 1.37

- AH / HD = 2.77 / 2.02 = 1.37

- CF / FB = 3.94 / 2.88 = 1.37

- CG / GD = 3.06 / 2.24 = 1.37

그러면 비례가 확인됩니다.

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

마찬가지로 점 B에서 점 D까지 선을 그릴 때 BD가 FG와 평행 한 것처럼 EH가 BD와 평행하다는 것을 알 수 있습니다. 반면에 EF는 GH와 평행하다..

이 방법으로 EFGH가 평행 사변형이라는 것을 알 수 있습니다. 왜냐하면 반대편이 평행하기 때문입니다.

참고 문헌

  1. Andres, T. (2010). 수학 올림피아드 Tresure. 스프링거. 뉴욕.
  2. Barbosa, J. L. (2006). 플랫 유클리드 기하학. SBM. 리우데 자네이루.
  3. Howar, E. (1969). 기하학 연구. 멕시코 : 히스패닉계 - 미국인.
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  5. Vera, F. (1943). 기하학의 요소들. 보고타.
  6. Villiers, M. (1996). 유클리드 기하학의 모험. 남아프리카 공화국.