몫:
Miletus의 탈레스 정리 첫째, 둘째 및 예
첫 번째와 두 번째 밀레투스 탈레스의 정리 그들은 다른 유사한 것들 (제 1 정리) 또는 둘레 (제 2 정리)로부터 삼각형을 결정하는 것에 기초한다. 그들은 다양한 분야에서 매우 유용합니다. 예를 들어, 첫 번째 정리는 정교한 측정 장비가없는 경우 큰 구조물을 측정하는 데 매우 유용함이 입증되었습니다.
Thales of Miletus는 기하학에 큰 공헌을 한 그리스 수학자로이 두 이론은 두드러지게 돋보입니다 (일부 텍스트에서는 Thales라고도 씁니다). 이러한 결과는 역사 전반에 걸쳐 사용되어 왔으며 다양한 기하학적 문제를 해결할 수있었습니다.
색인
- 1 테일즈의 첫 번째 정리
- 1.1 신청서
- 1.2 예제
- 테일즈의 2 초 정리
- 2.1 신청
- 2.2 예제
- 3 참고
테일즈의 첫 번째 정리
Tales의 첫 번째 정리는 다른 것들과 마찬가지로, 이전에 알려진 또 다른 삼각형을 만들 수있는 매우 유용한 도구입니다. 여기에서 다중 문맥에 적용 할 수있는 정리의 다양한 버전을 유도합니다..
진술을하기 전에 삼각형의 유사성에 대한 몇 가지 개념을 기억하십시오. 본질적으로 두 개의 삼각형은 각도가 일치 할 경우 유사합니다 (동일한 측정 값을 가짐). 이것은 두 개의 삼각형이 유사하다면 그것들의 대응면 (또는 동족체)이 비례한다는 사실을 야기합니다.
탈레스의 첫 번째 정리에 따르면 주어진 삼각형에서 직선이 그 변의 어느 것과도 평행하게 그려지면, 얻어지는 새로운 삼각형은 초기 삼각형과 유사하게됩니다.
또한 다음 그림에서 볼 수 있듯이 형성되는 각도 사이의 관계를 얻을 수 있습니다.
신청서
여러 응용 프로그램 중에서 특히 주목할만한 기능 중 하나는 Thales가 살았던 시대와 현대 측정 장치를 사용할 수 없었던 고대 시대의 거대한 구조물에 대한 측정 방법 중 하나와 관련이 있습니다. 그들은 지금 존재한다..
이것이 탈레스가 이집트에서 가장 높은 피라미드를 측정 한 방법이라고 Cheops는 말합니다. 이를 위해 탈레스 (Thales)는 태양 광선의 반사가 평행선을 형성하는지면에 닿았다고 생각했다. 이 가정하에 그는 막대 나 지팡이를 땅에 수직으로 꽂았습니다..
그리고는 그늘의 길이에 의해 형성되는 두 얻어진 삼각형의 유사성 (쉽게 계산 될 수있다) 피라미드의 그림자의 길이에 의해 형성 한 상기 피라미드의 높이 (알려지지 않은) 다른 사용 로드의 높이 (쉽게 계산할 수 있음).
이 길이의 비례를 사용하면 피라미드의 높이를 지우고 알 수 있습니다..
이 측정 방법은 높이의 정확도와 관련하여 근사치의 유의 한 오류를 줄 수 있지만 태양 광선의 평행도 (정확한 시간에 따라 달라짐)에 따라 다르지만 매우 독창적 인 아이디어라는 것을 인식해야합니다 그리고 그 시간에 대한 좋은 측정 대안을 제공했습니다..
예제들
각각의 경우 x의 값을 구하십시오.
솔루션
여기에는 두 개의 선이 두 개의 평행선으로 절단되었습니다. 탈레스의 첫 번째 정리에 의하면, 각각의 변이 비례한다는 것이다. 특히 :
솔루션
여기서 우리는 두 개의 삼각형을 가지고 있는데,이 중 하나는 다른 하나의 변의 한 변 (정확하게 길이 x의 변)과 평행 한 선분으로 형성됩니다. 테일즈의 첫 번째 정리에 따르면 :
이야기의 두 번째 정리
탈레스의 두 번째 정리는 같은 점의 각 점에서 원주에 새겨진 직각 삼각형을 결정한다..
원주에 새겨 져있는 삼각형은 정점이 원주에있는 삼각형이며,.
특히, 탈레스의 두 번째 정리는 중심 O와 직경 AC의 원이 주어지면 원주 (A와 C 제외)의 각 점 B는 직각을 가진 직각 삼각형 ABC를 결정합니다 정당화의 방법으로, OA와 OB와 OC는 원주의 반경에 해당합니다. 따라서 측정 값은 같습니다. 거기에서 삼각형 OAB와 OCB는 이등변 삼각형이된다. 삼각형의 각도의 합은 180º와 같은 것으로 알려져 있습니다. 삼각형 ABC와 함께 이것을 사용하려면 다음을 수행해야합니다. 2b + 2a = 180 °. 동등하게, 우리는 b + a = 90 °이고 b + a = 탈레스의 두 번째 정리에 의해 제공된 직각 삼각형은 정확히 그 빗변이 원주의 직경과 같은 것을 주목하라. 따라서 삼각형의 점을 포함하는 반원에 의해 완전히 결정됩니다. 이 경우, 상부 반원. Thales 두 번째 정리에 의해 얻어진 직각 삼각형에서, 빗변은 OA와 OC (반경)에 의해 두 개의 동일한 부분으로 나뉘어진다. 이 측정 값은 세그먼트 OB (반지름)와 같으며 삼각형 ABC의 중앙값 인 B에 해당합니다. 즉, 정점 B에 대응하는 직각 삼각형 ABC의 중앙값의 길이는 빗변의 절반에 의해 완전히 결정된다. 삼각형의 중앙값은 꼭지점 중 하나에서 반대쪽의 중간 점까지의 세그먼트입니다. 이 경우 BO 세그먼트. 탈레스의 두 번째 정리를 보는 또 다른 방법은 직각 삼각형에 외접 된 원을 통과하는 것입니다. 일반적으로 폴리곤에 외접된 원은 원점을 추적 할 수있을 때마다 각 꼭지점을 통과하는 원주로 구성됩니다. 이러한 I는 직각 삼각형을 부여 제를 정리하여, 우리는 항상 빗변의 중점으로 빗변과 외심 (원의 중심)의 반의 길이의 반경이 외접원로를 구성 할 수있다. 테일즈의 두 번째 정리와 아마도 가장 많이 사용되는 두 번째 정리의 매우 중요한 적용은 주어진 원주에 대한 접선을이 (알려진) 외부 점 P로 찾아내는 것입니다.. 원주 (아래 그림에서 파란색으로 그려 짐)와 외부 점 P가있는 경우, P를 통과하는 둘레에 접하는 두 개의 선이 있음을 관찰하십시오. T와 T '를 접선의 점으로, r을 원주의 반경으로, 또는 센터. 원의 중심에서 접선의 점으로가는 선분이이 접선에 수직이라는 것이 알려져 있습니다. 그러면 OTP 각도는 직선입니다.. 우리가 이전에 Thales의 첫 번째 정리와 다른 버전에서 보았던 것에서, 우리는 OTP 삼각형을 다른 원주 (빨간색으로)에 새겨 넣을 수 있음을 알 수있다.. 유사하게, OT'P 삼각형이 이전의 동일한 원주 내에서 새겨 질 수 있다는 것이 얻어진다. 제 가산 정리를 들어 우리는 이러한 새로운 원 직경 정확하게 삼각형 (삼각형의 빗변 OT'P 같다) OTP의 빗변 구하는 및 중심 빗변의 중점 인. 새로운 원주의 중심을 계산하려면 초기 둘레 (우리가 이미 알고있는)와 점 P (우리가 알고있는)의 중심 사이의 중간 점을 계산하면 충분합니다. 그러면 반경은이 점 M과 P 사이의 거리가됩니다.. 빨간색 원의 반지름과 중심을 가지고 우리는 Cartesian 방정식을 찾을 수 있습니다. 우리는 이것을 (x-h)2 + (y-k)2 = c2, 여기서 c는 반경이고 점 (h, k)는 원의 중심입니다. 두 원주의 방정식을 알면, 이것들에 의해 형성된 방정식의 시스템을 풀고 T와 T '점을 얻음으로써 그것들을 교차시킬 수 있습니다. 마지막으로 원하는 접선을 알기 위해서는 T와 P를 통과하는 직선의 방정식을 찾고 T '와 P. 직경 AC, 중심 O 및 반경 1cm의 원주를 고려하십시오. B를 AB = AC와 같은 원주 위의 점이라고하자. AB 측정 값은 얼마입니까?? 탈레스의 두 번째 정리에 따르면 삼각형 ABC는 직사각형이고 빗변은 직경에 해당하며,이 경우에는 2cm (반지름은 1cm)입니다. 그렇다면 피타고라스의 정리에 의해 우리는 다음을 만족해야합니다.
원주 둘레
신청서
예제
솔루션
참고 문헌