Moivre의 정리, 데모 및 해결 된 운동

그 Moivre의 정리 힘과 복소수에서의 뿌리 추출과 같은 대수의 기본 과정을 적용합니다. 그 정리은 유명한 프랑스의 수학자 인 Abraham de Moivre (1730)에 의해 강조되었으며, 삼각법.

아브라함 모이 레 (Abraham Moivre)는 유방과 코사인의 표현을 통해이 관계를 만들었습니다. 이 수학자는 복잡한 수 z를 1 이상의 양의 정수 인 n으로 올릴 수있는 일종의 공식을 생성했습니다..

색인

• 1 Moivre 정리는 무엇입니까??
• 2 데모
  • 2.1 유도 성베이스
  • 2.2 유도 가설
  • 2.3 확인
  • 2.4 음의 정수
• 3 연습 문제 해결
  • 3.1 긍정적 인 힘의 계산
  • 3.2 부정적인 힘의 계산
• 4 참고

Moivre 정리는 무엇입니까??

Moivre의 정리는 다음과 같이 말합니다 :

극좌표 형태의 복소수를 가진다면 z = r_ɵ, 여기서 r은 복소수 z의 모듈이고 각도 Ɵ는 0 ≤ ≤ ≤ 2π 인 복소수의 진폭 또는 인수라고하며 n 번째 힘을 계산하기 위해 n 배 곱하기 필요가 없습니다. 즉, 다음 제품을 만들 필요가 없습니다.

Zⁿ = z _* z _* z_{* ... *} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ * ... *} r_ɵ   n 배.

반대로이 정리에 따르면 z를 삼각 함수로 쓰면 n 차력을 계산할 때 다음과 같이 진행됩니다.

z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) then zⁿ = rⁿ (cosn * Ɵ + i _* 죄 n * Ɵ).

예를 들어, n = 2이면 z² = r²[cos2 (Ɵ) + sin2 (Ɵ)]. n = 3이면 z³ = z² _* z. 또한 :

z³ = r²[cos2 (Ɵ) + sin2 (Ɵ)] _* r [cos2 (Ɵ) + sin2 (Ɵ)]] = r³[cos3 (Ɵ) + sin3 (Ɵ)].

이 방법으로 사인과 코사인의 삼각 함수 비율은 각도의 삼각 함수 비를 알고있는 한 각도의 배수로 얻을 수 있습니다..

같은 방식으로 복소수 z의 n 번째 루트에 대해보다 정확하고 덜 복잡한 표현을 찾는 데 사용할 수 있으므로 zⁿ = 1.

Moivre의 정리를 증명하기 위해 수학적 유도의 원리가 사용됩니다 : 정수 "a"가 "P"속성을 가지고 "n"이 "P"속성을 갖는 "a"보다 큰 경우 n + 1도 "P"속성을 가지면 "a"보다 크거나 같은 모든 정수는 "P"속성을 갖습니다..

데모

이 방법으로, 정리의 증명은 다음 단계로 수행됩니다.

유도 성베이스

먼저 n = 1인지 확인하십시오..

z처럼¹ = (r (cosθ + i) _* 센 Ɵ))¹ = r¹ (cos Ɵ + i _* 센 Ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* 센 (1_* Ɵ)], n = 1이면 정리가 성립한다..

귀납적 가설

일부 양의 정수, 즉 n = k에 대해 수식이 참이라고 가정합니다..

z^k = (r (cosθ + i) _* 센 Ɵ))^k  = r^k (cos k Ɵ + i _* 센 Ɵ).

확인 중

n = k + 1에 대해 참이라고 판명되었다..

z처럼^{k + 1}= z^k _* z, z^{k + 1} = (r (cosθ + i) _* 센 Ɵ))^{k + 1} = r^k (cos kƟ + i _* 센 kƟ) _*  r (cosθ + i)_* 센Ɵ).

다음 표현식은 곱합니다.

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos ω)_*(cosθ) + (cosθk)_*(나는_*senƟ) + (i _* 센 kƟ)_*(cosφ) + (i _* 센 kƟ)_*(나는_* senƟ)).

잠시 동안 r 인자는 무시됩니다.^{k + 1},  공통 인자 i가 제거된다.

(cos kƟ)_*(cosθ) + i (cosθk)_*(sinφ) + i (senkƟ)_*(cosφ) + i²(센 킬로)_*(senƟ).

내가 어떻게² = -1, 우리는 표현에서 그것을 대체하고 우리는 얻는다 :

(cos kƟ)_*(cosθ) + i (cosθk)_*(sinφ) + i (senkƟ)_*(cos Ɵ) - (sen kƟ)_*(senƟ).

이제 실수 부분과 허수 부분이 정렬됩니다.

(cos kƟ)_*(cos Ɵ) - (sen kƟ)_*(sinφ) + i [(senkƟ)_*(cosθ) + (cosθk)_*(센Ɵ)].

표현을 단순화하기 위해 코사인과 사인에 대한 각도 합계의 삼각 아이덴티티가 적용됩니다.

cos (A + B) = cosA _* cos B - 센 A _* 센 B.

sen (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* 코사인 B.

이 경우 변수는 각도 Ɵ 및 k are입니다. 삼각 아이덴티티를 적용하면 다음과 같이됩니다.

코스 cos _* 코스 -  센 Ɵ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

센 Ɵ _* cosƟ + cos k _* senƟ = 센 (kƟ + Ɵ)

이 방법으로 표현식은 그대로 유지됩니다.

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (k + ρ) + i _* 센 (kƟ + Ɵ))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k + 1) · i] + i _* sen [(k + 1) Ɵ]).

따라서 n = k + 1에 대한 결과가 참임을 알 수있다. 수학적 유도의 원리에 따르면, 결과는 모든 양의 정수에 대해 참이라고 결론 지어집니다. 즉, n ≥ 1.

정수 음수

Moivre의 정리는 n ≤ 0 일 때도 적용됩니다. 음의 정수 "n"을 고려하십시오. "n"은 "-m", 즉 n = -m으로 표시 할 수 있습니다. 여기서 "m"은 양의 정수입니다. 그러므로 :

(cos Ɵ + i _* 센 Ɵ)ⁿ = (cos Ɵ + i _* 센 Ɵ) ^-m

긍정적 인 방법으로 지수 "m"을 얻으려면 표현식이 역으로 작성됩니다.

(cos Ɵ + i _* 센 Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* 센 Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* 센 Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cosmƟ + i _* 센 mƟ)

이제 z = a + b * i가 복소수이면 1 ÷ z = a-b * i가 사용됩니다. 그러므로 :

(cos Ɵ + i _* 센 Ɵ)ⁿ = cos (m · j) - i _* 센 (mƟ).

cos (-x) = cos (-x)와 -sen (x) = sin (-x)을 사용하면 다음을 수행해야합니다.

(cos Ɵ + i _* 센 Ɵ)ⁿ = [cos (m ㆍ ρ) - i _* 센 (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* 센 Ɵ)ⁿ = cos (-m · ρ) + i _* 센 (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* 센 Ɵ)ⁿ = cos (n) - i _* 센 (nƟ).

그런 식으로 정리는 "n"의 모든 정수 값에 적용된다고 말할 수 있습니다..

해결 된 연습 문제

긍정적 인 힘의 계산

극좌표 형태의 복소수 연산 중 하나는 이들 중 두 개 사이의 곱셈입니다. 이 경우 모듈이 곱해지고 인수가 추가됩니다..

두 개의 복소수가있는 경우 z₁ 및 z₂ 그리고 당신은 (z₁* z₂)², 그런 다음 다음과 같이 진행합니다.

z₁z₂ = [r₁ (cos₁ + 나는 _* 센 Ɵ₁)] * [r₂ (cos₂ + 나는 _* 센 Ɵ₂)]

분배 속성이 적용됩니다.

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos_{1 *} cos₂ + 나는 _* cos_{1 *} 나는 _* 센 Ɵ₂ + 나는 _* 센 Ɵ_{1 *} cos₂ + 나는²_* 센 Ɵ_{1 *} 센 Ɵ₂).

그것들은 그룹화되어 표현의 공통 요소로서 "i"라는 용어를 사용합니다 :

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos_{1 *} cos₂ + i (cos_{1 *} 센 Ɵ₂ + 센 Ɵ_{1 *} cos₂) + i²_* 센 Ɵ_{1 *} 센 Ɵ₂]

내가 어떻게² = -1은 다음 표현식에서 대체됩니다.

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos_{1 *} cos₂ + i (cos_{1 *} 센 Ɵ₂ + 센 Ɵ_{1 *} cos₂) - 센 Ɵ_{1 *} 센 Ɵ₂]

진짜 용어는 실재와 허수로 재편성됩니다.

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos_{1 *} cos₂ - 센 Ɵ_{1 *} 센 Ɵ₂) + i (cos_{1 *} 센 Ɵ₂ + 센 Ɵ_{1 *} cos₂)]

마지막으로, 삼각 함수가 적용됩니다.

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + ɵ₂)].

결론적으로 :

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + ɵ₂)])²

= R₁²r₂²[cos2 * (Ɵ₁ + ɵ₂) + i sen 2 * (Ɵ₁ + ɵ₂)].

운동 1

z = -2 -2i 인 경우 복소수를 극형으로 작성하십시오. 그런 다음 Moivre의 정리를 사용하여 z를 계산합니다.⁴.

솔루션

복소수 z = -2 -2i는 직사각형 형태로 표현됩니다. z = a + bi, 여기서 :

a = -2.

b = -2.

극성 형태가 z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), "r"모듈의 값과 "Ɵ"인수의 값을 결정해야합니다. r = √ (a² + b²)이므로 주어진 값이 대체됩니다.

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

그런 다음 "Ɵ"의 값을 결정하기 위해 직사각형 형태가 적용되며 이는 다음 수식으로 제공됩니다.

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

tan (Ɵ) = 1 일 때<0, entonces se tiene que:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

"r"과 "Ɵ"의 값이 이미 구해 졌기 때문에 복소수 z = -2 -2i는 다음과 같은 값을 대입하여 극형으로 나타낼 수 있습니다.

z = 2√2 (cos (5π / 4) + i _* 센 (5Π / 4)).

이제 Moivre 정리가 z를 계산하는 데 사용됩니다.⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5π / 4) + i _* 센 (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5π) + i _* 센 (5Π)).

운동 2

극한 형태로 표현하여 복소수의 곱을 찾습니다.

z1 = 4 (cos50^o + 나는_* 50 센^o)

z2 = 7 (cos100^o + 나는_* 100 센^o).

그런 다음, (z1 * z2) ²를 계산하십시오..

솔루션

먼저 주어진 수의 곱이 형성됩니다.

z₁ z₂ = [4 (cos 50^o + 나는_* 50 센^o)] * [7 (cos100^o + 나는_* 100 센^o)]

그런 다음 모듈을 함께 곱하고 인수를 추가하십시오.

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50^o + 100^o) + i_* 센 (50^o + 100^o)]

표현은 단순화되었습니다.

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^o + (나는_* 150 센^o).

마지막으로 Moivre 정리가 적용됩니다.

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150^o + (나는_* 150 센^o)) ² = 784 (cos300)^o + (나는_* 300 센^o)).

부정적인 힘의 계산

두 개의 복소수를 나누려면 z₁ 및 z₂ 그것의 극형에서는 모듈이 나뉘고 인수는 빼집니다. 따라서, 지수는 z₁ ÷ z₂ 다음과 같이 표현된다.

z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ₁- ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ - ɵ₂)]).

앞의 경우와 마찬가지로, (z1 ÷ z2) ³를 먼저 계산하려면 나누기가 수행 된 다음 Moivre 정리가 사용됩니다.

운동 3

감안할 때 :

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

calculate (z1 ÷ z2) ³.

솔루션

위에서 설명한 단계를 따르면 다음과 같은 결론을 얻을 수 있습니다.

(z1 ÷ z2) ³ = (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

참고 문헌

1. Arthur Goodman, L.H. (1996). 대수학 및 삼각 함수 분석 기하학. 피어슨 교육.
2. Croucher, M. (s.f.). Trig Identities에 대한 Moivre의 정리로부터. Wolfram 데모 프로젝트.
3. Hazewinkel, M. (2001). 수학 백과 사전.
4. Max Peters, W. L. (1972). 대수학 및 삼각법.
5. Pérez, C.D. (2010). 피어슨 교육.
6. Stanley, G. (s.f.). 선형 대수학 그로 힐.
7. , M. (1997). Precalculus 피어슨 교육.