Chebyshov의 정리, 응용과 예제



그 체비 쇼프의 정리 (또는 Chebyshov의 불평등)은 확률 이론의 가장 중요한 고전적 결과 중 하나입니다. 무작위 변수의 분포에 의존하지 않고 X의 분산에 의존하는 차원을 제공함으로써 무작위 변수 X의 관점에서 기술 된 사건의 확률을 추정 할 수 있습니다.

정리는 러시아의 수학자 체비 세프 Pafnuty이 정리를하게 발음하는 첫번째없는에도 불구하고, 1867 년에 데모를 제공하는 첫번째이었다 사람, (또한 체비 체프 또는 Tchebycheff로 작성)의 이름을 따서 명명된다.

이 불평등, 또는 그들의 특성으로 Chebyshov 불평등이라고 불리는 불평등은 주로 치수 계산을 통해 확률을 근사하는 데 사용됩니다.

색인

  • 1 구성 요소는 무엇입니까??
  • 2 응용 프로그램 및 예제
    • 2.1 경계 확률
    • 2.2 한계 정리의 증명
    • 2.3 샘플 크기
  • 3 불평등 유형 Chebyshov
  • 4 참고

그것은 무엇으로 이루어 집니까??

확률 이론의 연구에서 확률 변수 X의 분포 함수를 알고 있다면, 당신은 당신의 기대 값, 또는 수학적 기대 E (X) 계산할 수 있습니다 발생 -와 분산 바르 (X)를 것을 제공 금액은 존재한다. 그러나, 상호성은 반드시 사실 일 필요는 없습니다..

즉, E (X)와 Var (X)를 알면 반드시 X의 분포 함수를 얻을 수있는 것은 아니기 때문에 일부 k> 0에 대한 P (| X |> k)와 같은 양은 얻기가 매우 어렵습니다. 그러나 Chebyshov의 불평등 덕분에 확률 변수의 확률을 추정 할 수 있습니다.

Chebyshov의 정리에 따르면 확률 함수 p를 갖는 샘플 공간 S에 대해 확률 변수 X가 있고 k> 0 인 경우 :

애플리케이션 및 예제

Chebyshov의 정리가 가지고있는 많은 응용 프로그램 중에서 다음과 같은 것을 언급 할 수 있습니다 :

확률 경계

가장 일반적인 애플리케이션이고 P에 대한 상한을 제공하기 위해 사용된다 (| X-E (X) | ≥k) 여기서 K> 0 단 분산 랜덤 변수 X의 기대 확률 함수를 몰라도.

예제 1

한 주 동안 회사에서 제조 된 제품의 수를 평균 50의 무작위 변수라고 가정합니다..

생산 주간의 변동이 25와 같다는 것을 안다면 이번 주 생산량이 평균보다 10 배 이상 차이가 날 가능성에 대해 말할 수 있을까요??

솔루션

Chebyshov의 불평등을 적용하려면 다음을 수행해야합니다.

이것으로부터 우리는 생산 주간에 기사의 수가 평균보다 10을 초과 할 확률이 1/4 이하라는 것을 알 수 있습니다.

한계 정리의 데모

Chebyshov의 불평등은 가장 중요한 한계 정리의 증명에 중요한 역할을합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

많은 수의 약한 법칙

이 법칙은 동일한 평균 분포 E (Xi) = μ 및 분산 Var (X) = σ를 갖는 독립 확률 변수의 시퀀스 X1, X2, ..., Xn,2, 및 알려진 평균 샘플 :

그러면 k> 0 일 때 다음을 수행해야합니다.

또는 이와 동등하게 :

데모

먼저 다음 사항에 유의하십시오.

X1, X2, ..., Xn은 독립적이므로 다음과 같습니다.

따라서 다음을 확인하는 것이 가능합니다.

Chebyshov의 정리를 사용하면 다음을 수행해야합니다.

마지막으로, 정리는 n이 무한대로 변할 때 오른쪽 한계가 0이라는 사실로부터 나온다..

이 테스트는 Xi의 분산이있는 경우에만 수행되었다는 점에 유의해야합니다. 즉, 발산하지 않습니다. 따라서 우리는 E (Xi)가 존재하면 정리가 항상 참이된다는 것을 관찰한다.

체비 쇼프의 한계 정리

X1, X2, ..., Xn, ...이 독립 랜덤 변수의 연속이어서 C< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0 :

데모

분산의 연속이 균일하게 한정되어 있기 때문에 모든 자연 n에 대해 Var (Sn) ≤ C / n을 갖는다. 그러나 우리는 그것을 안다.

n을 무한대로 만들면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

확률은 값 1을 초과 할 수 없기 때문에 원하는 결과가 얻어집니다. 이 정리의 결과로 Bernoulli의 특별한 경우를 언급 할 수있다..

실험이 두 번의 결과 (실패 및 성공)로 독립적으로 n 번 반복되는 경우, 여기서 p는 각 실험에서 성공할 확률이고 X는 성공 횟수를 나타내는 확률 변수이며 각 k> 0에 대해 너는해야한다 :

표본 크기

근사화를 허용> = K가 발생 원하는만큼 작은 | SN-μ | 분산의 관점에서, 부등식 체비 셰프 확률 즉 있도록 충분한 샘플 사이즈 N을 찾을 수있게 해준다 평균까지.

정확하게 X1, X2, ... Xn을 크기 n의 독립 확률 변수의 표본이라고하고 E (Xi) = μ 및 그 분산 σ2. Chebyshov의 불평등 때문에 우리는 다음을해야합니다.

예제

X1, X2, ... Xn이 Bernoulli 분포를 갖는 독립적 인 무작위 변수의 표본이라고 가정하여, 확률 p = 0.5로 값 1을 취합니다.

산술 평균 Sn과 예상 값 (0.1을 초과) 사이의 차이가 0.01보다 작거나 같을 확률을 보장 할 수있는 샘플의 크기는 무엇입니까??

솔루션

우리는 E (X) = μ = p = 0.5이고 Var (X) = σ2= p (1-p) = 0.25이다. Chebyshov의 불평등에 대해, 어떤 k> 0에 대해서 우리는 :

이제, k = 0.1 및 δ = 0.01을 취하면 다음을 수행해야합니다.

이런 식으로, | Sn-0.5 |> = 0.1의 확률이 0.01보다 작도록하기 위해 적어도 2500의 표본 크기가 필요하다고 결론 지었다.

부등식 유형 Chebyshov

Chebyshov의 불평등과 관련된 여러 가지 불평등이 있습니다. 가장 잘 알려진 것 중 하나는 마르코프 불평등입니다 :

이 표현식에서 X는 k, r> 0 인 음수가 아닌 임의의 변수입니다..

마르코프 불평등은 다른 형태를 취할 수 있습니다. 예를 들어, Y를 음수가 아닌 확률 변수 (P (Y> = 0) = 1)로 가정하고 E (Y) = μ가 있다고 가정합니다. 또한 (E (Y))r= μr 어떤 정수 r> 1에 존재한다. 다음 :

또 다른 불평등은 Gauss의 또 다른 부등식입니다. 이것은 모드가 0 인 단일 모달 변수 X가 주어진다면 k> 0입니다.,

참고 문헌

  1. 정 라이 라이 확률 과정을 이용한 초등 수학적 확률론. Springer - Verlag 뉴욕 Inc
  2. 케네스 .H. Rosen, 이산 수학과 응용. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. 확률 및 통계 응용 프로그램. S.A. 멕시코 알함브라.
  4. Seymour Lipschutz 박사 과정 2000 이산 수학 문제 해결. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz 박사 과정 확률의 이론과 문제점. McGRAW-HILL.