Bolzano의 정리 설명, 응용 및 운동 해결됨



그 볼 차노 정리 함수가 닫힌 간격 [a, b]의 모든 점에서 연속적이고 "함수"아래의 "a"와 "b"의 이미지가 반대 기호를 갖는 것으로 만족되면, 적어도 하나의 점 "c"에서 계산 된 함수가 0이되도록 열린 간격 (a, b)의 "C".

이 정리는 철학자, 신학자 및 수학자 Bernard Bolzano에 의해 1850 년에 enunciated되었다. 현재의 체코 공화국에서 태어난이 과학자는 역사상 최초의 수학자 중 하나로서 연속 함수의 속성을 공식적으로 증명했다.

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  • 1 설명
  • 2 데모
  • 3 무엇을위한 것인가??
  • 4 연습 문제 해결
    • 4.1 운동 1
    • 4.2 운동 2
  • 5 참고

설명

Bolzano의 정리는 실제 값의 특정 실제 함수의 특정 값, 특히 0을 결정하는 데 도움이되는 중간 값 정리라고도합니다..

f (a)와 f (b)는 곡선으로 연결되며, f (a)는 x 축 아래 (음수)이고 f (b)는 다음과 같이 주어진 함수 f (x) (양수입니다), 또는 그 반대의 경우, 중간에 "a"와 "b"사이에있는 값 "c"를 나타내는 x 축에 절단 점이 생기고 f (c) 0과 같을 것이다..

볼 차노의 정리를 그래픽으로 분석함으로써, 간격 [a, b]에서 정의 된 모든 함수 f에 대해, f (a)*f (b)가 0보다 작은 경우, 간격 (a, b) 내에 그 함수의 적어도 하나의 근음 "c".

이 정리는 그 열린 간격에 존재하는 포인트의 수를 확립하지 않으며, 적어도 1 포인트 만 있다고 명시한다..

데모

볼 자노의 정리를 증명하기 위해, 일반성을 잃지 않고 f (a) < 0 y f(b) > 0; 그런 식으로 f (x) = 0 인 "a"와 "b"사이에 많은 값이있을 수 있지만,.

중간 점 (a + b) / 2에서 f를 계산하여 시작하십시오. f ((a + b) / 2) = 0이면 테스트는 여기서 끝납니다. 그렇지 않으면 f ((a + b) / 2)는 양수 또는 음수입니다..

구간 [a, b]의 반쪽 중 하나가 선택되어 끝에 평가되는 함수의 부호가 달라집니다. 이 새로운 간격은 [a1, b1].

이제 [a1, b1]의 중간 점에서 평가 된 f가 0이 아닌 경우 이전과 동일한 작업이 수행됩니다. 즉, 징후의 상태를 충족시키는이 간격의 절반이 선택됩니다. 이 새로운 간격이 되라. [a2, b2].

이 프로세스가 계속되면 다음과 같이 과 bn의 두 가지 연속 작업이 수행됩니다.

an이 (가) 증가하고 bn이 감소하고 있습니다.

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

각 간격 [ai, bi]의 길이를 계산할 경우 다음을 수행해야합니다.

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2 ².

... .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

따라서, n이 (bn-an)의 무한대가되는 한계는 0.

그 an을 사용하는 것은 증가하고 경계가 있으며 bn은 감소하고 경계가 있습니다. 다음과 같은 값 "c"가 있어야합니다 :

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

an의 한도는 "c"이고 bn의 한도는 "c"입니다. 따라서 어떤 δ> 0이 주어지면 간격 [an, bn]이 간격 (c-δ, c + δ) 내에 포함되도록 항상 "n".

이제, f (c) = 0.

f (c)> 0이면 f가 연속이기 때문에 f가 구간 (c-ε, c + ε)에서 양의 값을 갖도록 ε> 0이 존재한다. 그러나, 전술 한 바와 같이, f가 [an, bn]으로 부호를 변경하고 또한 [an, bn]이 (c-ε, c + ε) 내에 포함되도록 값 "n" 모순은 무엇인가?.

f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0은 간격 (c-ε, c + ε) 동안 f가 음수가되도록; f가 [an, bn]에 사인을 변경하는 값 "n"이 있습니다. [an, bn]은 (c-ε, c + ε) 내에 포함되어있는 것으로 밝혀졌으며, 이는 모순이기도합니다.

그러므로, f (c) = 0이고 이것은 우리가 시연하고자했던 것이다..

그것을 위해 무엇입니까??

볼 자노의 정리는 그 그래픽적인 해석을 통해 이분법 (근사법)을 통해 연속 함수에서 근원 또는 제로를 찾는 데 사용됩니다. 이분법은 항상 간격을 2로 나누는 증분 검색 방법입니다.

그런 다음 부호 변경이 발생하는 간격 [a, c] 또는 [c, b]를 취하고 간격이 작아지기 전까지 프로세스를 반복하여 원하는 값에 접근 할 수 있습니다. 즉, 함수가 만드는 값인 0.

요약하자면, Bolzano의 정리를 적용하고 따라서 뿌리를 찾고, 함수의 제로를 정하고, 방정식에 해를 부여하기 위해 다음 단계가 수행됩니다.

- f가 구간 [a, b]에서 연속 함수인지,.

- 간격이 주어지지 않으면 함수가 연속적으로있는 곳을 찾아야한다..

- 간격의 극단이 f에서 평가 될 때 반대 기호를 나타내는 지 확인합니다..

- 반대 부호를 얻지 못하면 중간 점을 사용하여 간격을 두 개의 하위 간격으로 나누어야합니다.

- 중간 지점에서 함수를 평가하고 Bolzano 가설이 만족되는지 확인하십시오. 여기서 f (a) * f (b) < 0.

- 발견 된 값의 부호 (양수 또는 음수)에 따라, 언급 된 가설이 충족 될 때까지 새로운 부분 간격으로 과정이 반복됩니다.

해결 된 연습 문제

운동 1

함수 f (x) = x2 - 2, 구간 [1,2]에서 적어도 하나의 실제 해를 갖는다..

솔루션

우리는 함수 f (x) = x2 - 2. 다항식이므로 임의의 간격으로 연속적임을 의미합니다..

당신은 인터벌 [1, 2]에서 실제 솔루션을 가지고 있는지를 결정하라는 요구를받습니다. 따라서 함수의 인터벌의 끝을 바꿔서 이들의 부호를 알아 내고 서로 다른 조건을 만족하는지 확인해야합니다.

f (x) = x2 - 2

f (1) = 12 - 2 = -1 (음)

f (2) = 22 - 2 = 2 (양)

따라서, f (1) ≠ f (2)의 부호는,.

이것은 간격 [1,2]에 속하는 적어도 하나의 점 "c"를 보장하며, 여기서 f (c) = 0.

이 경우 "c"값은 다음과 같이 쉽게 계산할 수 있습니다.

x2 - 2 = 0

x = ± √2.

따라서 √2 ≈ 1,4는 구간 [1,2]에 속하며 f (√2) = 0을 만족한다..

운동 2

입증 할 수있는 방정식 x5 + x + 1 = 0은 적어도 하나의 실제 솔루션을 가지고있다..

솔루션

먼저, f (x) = x5 + x + 1은 다항식 함수입니다. 즉, 모든 실수에서 연속적입니다..

이 경우 간격은 지정되지 않으므로 값을 직관적으로 선택해야합니다. 함수를 평가하고 부호가 변경된 것을 찾기 위해 값을 0에 가까울수록 좋습니다.

간격 [0, 1]을 사용하는 경우 다음을 수행해야합니다.

f (x) = x5 + x + 1.

f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 15 + 1 + 1 = 3> 0.

부호 변화가 없기 때문에, 공정은 다른 간격으로 반복된다.

[-1, 0] 간격을 사용하면 다음을 수행해야합니다.

f (x) = x5 + x + 1.

f (-1) = (-1)5 + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0.

이 구간에는 sign의 변화가 있습니다 : f (-1) ≠ sign of f (0), 즉 f (x) = x5 + x + 1은 f (c) = 0이되도록 구간 [-1, 0]에서 적어도 하나의 실수 근음 "c"를 갖는다. 즉, x5 + x + 1 = 0은 구간 [-1,0]에서 실제 해를 갖는다..

참고 문헌

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