벡터 대수학 기초, 크기, 벡터

그 벡터 대수학 선형 방정식, 벡터, 행렬, 벡터 공간 및 선형 변환의 시스템을 연구하는 수학 분야입니다. 이것은 엔지니어링, 미분 방정식 분석, 기능 분석, 운영 연구, 컴퓨터 그래픽 등과 같은 분야와 관련이 있습니다..

선형 대수학을 채택한 또 다른 분야는 물리적 현상을 연구하고 벡터를 사용하여 물리 현상을 설명하기 때문에 물리학입니다. 이것은 우주에 대한 더 나은 이해를 가능하게했다..

색인

• 1 기초
  • 1.1 기하학적으로
  • 1.2 분석적으로
  • 1.3 공리적으로
• 2 진도
  • 2.1 스칼라 크기
  • 2.2 벡터 크기
• 3 벡터 란 무엇인가??
  • 3.1 모듈
  • 3.2 주소
  • 3.3 센스
• 4 벡터의 분류
  • 4.1 고정 벡터
  • 4.2 자유로운 벡터
  • 4.3 슬라이딩 벡터
• 5 벡터의 특성
  • 5.1 등분 벡터
  • 5.2 등가 벡터
  • 5.3 벡터 평등
  • 5.4 반대 벡터
  • 5.5 단위 벡터
  • 5.6 널 벡터
• 벡터의 구성 요소 6
  • 6.1 예제
• 7 벡터 작업
  • 7.1 벡터 더하기 및 빼기
  • 7.2 벡터의 곱셈
• 8 참고

기본 사항

벡터 대수는 벡터위한 도구 역할을 실현 깁스와 헤비 사이드에 의해 추진 사원 수의 연구 (실수의 확장) 1, I, J, K,뿐만 아니라 직교 형상에서 유래 다양한 물리적 현상을 나타낸다..

벡터 대수학은 세 가지 기초를 통해 연구됩니다.

기하학적으로

벡터는 방향이있는 선으로 표시되며 실수와 더하기, 빼기 및 곱하기와 같은 연산은 기하학적 방법으로 정의됩니다.

분석적으로

벡터 및 해당 연산에 대한 설명은 구성 요소라고하는 숫자로 수행됩니다. 이 유형의 설명은 좌표계가 사용되기 때문에 기하학적 표현의 결과입니다.

공리적으로

벡터에 대한 설명은 좌표계 또는 기하학적 표현의 유형에 관계없이 이루어진다..

공간에서 인물에 대한 연구는 하나 이상의 차원이 될 수있는 참조 시스템에서의 표현을 통해 이루어집니다. 주요 시스템은 다음과 같습니다.

- 한 점 (O)이 원점을 나타내고 다른 점 (P)이 축척 (길이)과 방향을 결정하는 선인 1 차원 시스템 :

- 점 (O) 원점을 지나는 x 축 및 y 축이라는 두 개의 수직선으로 구성된 직사각형 좌표계 (2 차원). 이런 식으로 비행기는 사분면이라고 불리는 네 개의 지역으로 나뉘어집니다. 이 경우 평면에서 점 (P)은 축과 P 사이에 존재하는 거리로 표시됩니다.

- 극좌표 시스템 (2 차원). 이 경우 시스템은 극이라고 불리는 점 O (원점)와 극점이라고하는 원점 O가있는 광선으로 구성됩니다. 이 경우 극점과 극축을 기준으로 한 평면의 점 P는 원점과 점 P 사이의 거리로 형성되는 각도 (Ɵ)로 표시됩니다..

- 공간에서 점 O를 원점으로하는 세 개의 수직선 (x, y, z)으로 형성된 직사각형 3 차원 시스템입니다. 3 개의 좌표 평면이 형성된다 : xy, xz 및 yz; 공간은 octant라고 불리는 8 개의 영역으로 나뉘어집니다. 공간의 점 P에 대한 참조는 평면과 P 사이에 존재하는 거리로 주어집니다.

진도

크기는 어떤 물리적 현상의 경우처럼 수치를 통해 세거나 측정 할 수있는 물리적 양입니다. 그럼에도 불구하고 숫자가 아닌 다른 요인으로 이러한 현상을 설명 할 수 있어야하는 경우가 종종 있습니다. 이것이 크기가 두 가지 유형으로 분류되는 이유입니다.

스칼라 크기

그것들은 숫자로 정의되고 표현되는 양이다. 즉 모듈에 의해 측정 단위와 함께 사용됩니다. 예 :

a) 시간 : 5 초.

b) 제품 질량 : 10 kg.

c) 부피 : 40 ml.

d) 온도 : 40ºC.

벡터 크기

그것들은 유닛과 함께 모듈에 의해 정의되고 표현되는 양과 감각과 방향에 의해 나타난다. 예 :

a) 속도 : (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) 가속도 : 13 m / s²; S 45º E.

c) 힘 : 280 N, 120 °.

d) 무게 : -40 ĵ kg-f.

벡터 크기는 벡터로 그래픽으로 표현됩니다..

벡터 란 무엇인가??

벡터는 벡터 크기의 그래픽 표현입니다. 말하자면, 그것들은 그들의 마지막 끝이 화살의 끝인 직선의 부분입니다.

이것들은 모듈의 길이 나 세그먼트의 길이, 화살표의 끝과 방향에 따라 방향이 결정됩니다. 벡터의 기원은 응용 지점으로 알려져 있습니다..

벡터 요소는 다음과 같습니다.

모듈

원점에서 벡터의 끝까지의 거리이며 단위와 함께 실수로 표시됩니다. 예 :

| 옴 | = | A | = A = 6cm

주소

x 축 (양수)과 벡터 사이에 존재하는 각도의 척도이며 북쪽, 남쪽, 동쪽 및 서쪽의 기수 점을 사용합니다..

센스

이것은 벡터의 끝 부분에있는 화살촉에 의해 주어진다..

벡터 분류

일반적으로 벡터는 다음과 같이 분류됩니다.

고정 벡터

그것은 적용 지점 (원점)이 고정 된 지점입니다. 말하자면, 그것은 공간의 한 지점에 묶여 있기 때문에, 왜이 공간에서 옮겨 갈 수 없는지에 대한 이유입니다..

무료 벡터

원점이 모듈, 방향 또는 방향을 변경하지 않고 어느 지점 으로든 움직이기 때문에 공간에서 자유롭게 움직일 수 있습니다..

슬라이딩 벡터

모듈, 감각 또는 방향을 변경하지 않고 동작 라인을 따라 원점을 움직일 수있는 것입니다.

벡터 속성

벡터의 주요 속성은 다음과 같습니다.

등가 벡터

그것들은 동일한 모듈, 방향 (또는 그것들이 평행 함)을 가지고있는 자유 벡터이며 슬라이딩 벡터 또는 고정 벡터.

등가 벡터

그것은 두 벡터가 같은 주소를 가지거나 (또는 ​​평행하다) 똑같은 감각을 가지며, 다른 모듈과 응용 점을 가지고 있음에도 불구하고 동일한 효과를 일으 킵니다.

벡터의 평등

시작점이 다르더라도 동일한 모듈, 방향 및 센스를 가지므로 평행선 벡터가 영향을주지 않고 자체적으로 움직일 수 있습니다..

반대편 벡터

그것들은 같은 모듈과 방향을 가지고 있지만 그것들의 감각은 반대이다..

벡터 단위

모듈이 유닛 (1)과 같은 모듈입니다. 이것은 벡터를 모듈로 나눔으로써 얻어지며, 기본 또는 단위 화 된 정규화 된 벡터를 사용하여 평면 또는 공간에서 벡터의 방향과 방향을 결정하는 데 사용됩니다.

널 벡터

모듈이 0 인 모듈입니다. 말하자면, 원점과 극점이 같은 지점에서 일치합니다..

벡터의 구성 요소

벡터의 구성 요소는 참조 시스템의 축에있는 벡터의 투영 값입니다. 2 차원 또는 3 차원 축이 될 수있는 벡터의 분해에 따라 2 개 또는 3 개의 구성 요소가 각각 얻어집니다.

벡터의 구성 요소는 실수, 음수 또는 심지어 영 (0) 일 수있는 실수입니다..

따라서 xy (2 차원) 평면에서 직각 좌표계에서 시작하는 벡터 Â가있는 경우 x 축의 투영은 Âx이고 y 축의 투영은 Ây입니다. 따라서, 벡터는 그 성분 벡터들의 합으로 표현 될 것이다..

예제들

첫 번째 예

우리는 원점에서 시작하여 끝점의 좌표가 주어진 벡터 Â를가집니다. 따라서, 벡터 Â = (Â_x; A_및) = (4; 5) cm.

벡터는 다른 점 (P)에서 (공간) 입체 삼각형 X, Y, Z의 좌표 시스템의 원점에 작용하면, 그 축 돌기 도끼, 불안 및 아즈이고; 따라서 벡터는 세 개의 구성 요소 벡터의 합으로 표현됩니다..

두 번째 예

우리는 원점에서 시작하여 끝점의 좌표가 주어진 벡터 Â를가집니다. 따라서, 벡터 Â = (A_x; A_및; A_z) = (4; 6; -3) cm.

직각 좌표가있는 벡터는 기본 벡터로 표현할 수 있습니다. 이를 위해 평면과 공간에 대해 다음과 같은 방식으로 각 좌표에만 해당 단위 벡터를 곱해야합니다.

비행기의 경우 : Â = A_x나는 + A_및j.

공간 : Â = A_x나는 + A_및j + A_zk.

벡터 작업

가속, 속도, 변위, 힘과 같은 모듈, 감각 및 방향을 가진 많은 크기가 있습니다..

이것들은 과학의 다양한 분야에 적용되며, 적용하기 위해 어떤 경우에는 벡터와 스칼라의 더하기, 빼기, 곱셈과 나눗셈과 같은 연산을 수행 할 필요가있다.

벡터의 더하기와 빼기

벡터의 더하기와 빼기는 빼기가 합계로 쓰일 수 있기 때문에 단일 대수 연산으로 간주됩니다. 예를 들어 벡터의 빼기 Â와 Ē는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 - Ē =  + (- Ē)

벡터의 더하기와 빼기를 수행하는 여러 가지 방법이 있습니다 : 그래픽 또는 분석 일 수 있습니다.

그래픽 메소드

벡터에 모듈, 감각 및 방향이있을 때 사용됩니다. 이렇게하기 위해 결과를 결정하는 데 도움이되는 그림을 그리는 선이 그려집니다. 가장 잘 알려진 것 중에는 다음과 같은 것이 있습니다.

평행 사변형 방법

두 벡터의 더하기 또는 빼기를 만들기 위해 벡터의 원점을 나타내는 좌표 축에서 공통점을 선택하고 모듈, 방향 및 방향을 유지합니다..

그런 다음 벡터와 평행하게 그려서 평행 사변형을 형성합니다. 결과 벡터는 두 벡터의 원점에서 평행 사변형의 꼭지점까지 남는 대각선입니다.

삼각형 법

이 방법에서는 벡터가 모듈, 방향 및 방향을 유지하면서 서로 배치됩니다. 결과 벡터는 첫 번째 벡터의 원점과 두 번째 벡터의 끝의 합집합이됩니다.

분석 방법

기하 또는 벡터 방법을 통해 두 개 이상의 벡터를 더하거나 뺄 수 있습니다.

기하학적 방법

두 벡터가 삼각형 또는 평행 사변형을 형성 할 때 사인 및 코사인의 법칙을 사용하여 결과 벡터의 모듈 및 방향을 결정할 수 있습니다. 따라서 코사인 법칙과 삼각형 법을 적용한 결과 벡터의 모듈은 다음과 같습니다.

이 공식에서 β는 측면 R에 반대되는 각도이며 이것은 180 ° - equal와 같습니다.

대조적으로, 평행 사변형 방법에 의해 결과 벡터 모듈은 다음과 같습니다.

결과 벡터의 방향은 각도 (α)로 주어지며,이 각도는 벡터 중 하나.

사인 법칙에 따라 벡터의 더하기 또는 빼기는 삼각형 또는 평행 사변 법으로 수행 할 수 있습니다. 모든 삼각형에서 변의 각도에 비례합니다.

벡터 방법

이것은 직각 좌표 또는 기본 벡터에 따라 두 가지 방법으로 수행 할 수 있습니다..

더하기 또는 빼기 벡터를 좌표의 원점으로 전송 한 다음 평면 (x, y) 또는 공간 (x, y)에 대한 각 축의 모든 투영을 수행하여 수행 할 수 있습니다. 및 z); 마지막으로, 그 구성 요소는 대수적으로 추가됩니다. 그래서, 그것은 비행기입니다 :

결과 벡터의 모듈은 다음과 같습니다.

공간의 경우 :

결과 벡터의 모듈은 다음과 같습니다.

벡터 합계를 수행 할 때 다음과 같은 여러 속성이 적용됩니다.

- 연관성 : 결과는 두 벡터를 먼저 추가 한 다음 세 번째 벡터를 추가하여 변경되지 않습니다..

- 상식 재산 : 벡터의 순서는 결과를 변경하지 않는다..

- 벡터 분포 속성 : 스칼라에 두 벡터의 합을 곱한 경우 각 벡터에 대한 스칼라의 곱과 같습니다..

- 스칼라 분포 속성 : 벡터에 두 스칼라의 합을 곱한 경우 벡터의 각 스칼라에 대한 곱셈과 같습니다..

벡터의 곱셈

벡터의 곱셈 또는 곱셈은 더하기 또는 빼기로 수행 될 수 있지만 그렇게하면 물리적 의미를 잃고 응용 프로그램 내에서 거의 발견되지 않습니다. 따라서 일반적으로 가장 많이 사용되는 유형의 제품은 스칼라 및 벡터 곱입니다.

스칼라 제품

두 벡터의 내적이라고도합니다. 두 벡터의 모듈에 그들 사이에 형성된 작은 각의 코사인을 곱하면 스칼라가 얻어집니다. 두 벡터 사이에 스칼라 곱을 배치하려면 점 사이에 점을 배치하고 다음과 같이 정의 할 수 있습니다.

두 벡터 사이에 존재하는 각도 값은 평행인지 수직인지에 따라 다릅니다. 그래서, 당신은해야한다 :

- 벡터가 평행하고 동일한 감각을 갖는다면, 코사인 0º = 1.

- 벡터가 평행하고 반대 감각을 가지면, 코사인 180º = -1.

- 벡터가 수직이면 코사인 90º = 0.

그 각도는 다음을 알고 계산할 수도 있습니다.

스칼라 제품에는 다음과 같은 특성이 있습니다.

- 상식 재산 : 벡터의 순서는 스칼라를 변경하지 않는다..

-분산 속성 : 스칼라에 두 벡터의 합을 곱한 경우 각 벡터에 대한 스칼라의 곱과 같습니다..

벡터 제품

벡터 곱셈 또는 두 벡터 A와 B의 교차 곱은 새 벡터 C를 생성하고 벡터 간의 교차를 사용하여 표현됩니다.

새 벡터는 고유 한 특성을 갖습니다. 그런 식으로 :

- 방향 :이 새 벡터는 원래 벡터에 의해 결정되는 평면에 수직이됩니다..

- 감각 : 오른손의 법칙에 의해 결정되며, 벡터 A는 손가락으로 회전 방향을 가리켜 B쪽으로 회전하고, 엄지 손가락으로는 벡터의 감각을 표시합니다.

- 모듈 : 벡터 AxB의 모듈에 이러한 벡터 사이에 존재하는 가장 작은 각도의 사인을 곱하여 결정됩니다. 그것은 표현된다 :

두 벡터 사이에 존재하는 각도 값은 평행인지 수직인지에 따라 달라집니다. 그러면 다음을 확인하는 것이 가능합니다.

- 벡터가 평행하고 동일한 감각을 갖는다면, sin 0 º = 0.

- 벡터가 평행하고 반대 감각을 갖는다면 사인파 180º = 0.

- 벡터가 수직 인 경우 사인 90 ° = 1.

벡터 산물이 기본 벡터의 관점에서 표현 될 때, 그것은해야한다 :

스칼라 제품에는 다음과 같은 특성이 있습니다.

- 교환 가능하지 않습니다. 벡터의 순서가 스칼라를 변경합니다..

- 분산 속성 : 스칼라에 두 벡터의 합을 곱한 경우 각 벡터에 대한 스칼라의 곱과 같습니다..

참고 문헌

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2. Angel, A. R. (2007). 초등 대수학 피어슨 교육,.
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7. Mora, J. F. (2014). 선형 대수학 국토.