수학 논리 원점, 연구 유형, 유형

그 수학 논리 또는 기호 논리는 수학적 추론이 확인되거나 거부 될 수있는 수단을 포함하는 수학적 언어입니다.

수학에서는 모호함이 없다는 것은 잘 알려져 있습니다. 수학적 논증이 주어지면 이것은 유효하거나 간단하지 않습니다. 거짓과 진실은 동시에있을 수 없다..

수학의 특정 측면은 추론의 타당성을 결정할 수있는 형식적이고 엄격한 언어를 사용한다는 것입니다. 어떤 추론이나 수학적 증거가 반박되지 않는 이유는 무엇입니까? 그것이 수학 논리가 무엇인지에 대한 것입니다..

따라서 논리는 수학적 추론과 논증을 연구하는 수학 분야이며, 이전의 진술이나 명제에서 올바른 결론을 추론 할 수있는 도구를 제공합니다.

이를 위해, 나중에 개발 될 공리와 다른 수학적 측면을 사용합니다.

색인

• 1 기원과 역사
  • 1.1 아리스토텔레스
• 2 수학 논리 연구?
  • 2.1 명제
  • 2.2 진실표
• 3 수학 논리의 유형
  • 3.1 구역
• 4 참고

기원과 역사

수학 논리의 여러 측면에 관한 정확한 날짜는 불확실합니다. 그러나 주제에 관한 대부분의 참고 문헌은 고대 그리스에 대한이 유래를 추적한다.

아리스토텔레스

논리의 엄격한 치료의 시작은 나중에 중세 때까지 다른 철학자들과 과학자들에 의해 컴파일되어 개발 된 로직에 작품의 시리즈를 쓴 아리스토텔레스에 부분적으로 기인한다. 이것은 "오래된 논리"로 간주 될 수 있습니다..

현대 수학적 추론에 대한 보편적 인 언어를 설정하는 깊은 욕망에 의해 구동 나이, 라이프니츠, 및 고틀 로프 프레게와 주세페 페 아노와 같은 다른 수학자로 알려진 곳 그리고, 특히 큰 기여와 수학적 논리의 개발에 영향을 , 그 중에서도 자연수의 필수 불가결 한 속성을 공식화 한 Peano의 공리.

중요한 다른 것들, (조지 불에 의해) 부울 대수 중, 강조 이론과 사실 테이블을 설정하는 기여하고, 선택의 공리와 함께,이 시간 수학자 조지 불 및 게오르크 칸토어의 영향력이 있었 (George Cantor 저).

아우 드 모건은 알려진 법률 모건, 명제 사이의 부정, 접속사, disjunctions 및 조건문을 고민, 기호 논리의 개발과 유명한 존 벤의 핵심은 벤를 다이어그램.

1910 ~ 1913 년 사이의 버트 랜드 러셀 (Bertrand Russell)과 알프레드 노스 화이트 헤드 (Alfred North Whitehead)는 20 세기에 Principia mathematica, 일련의 공리와 논리 결과를 수집, 개발 및 가정하는 일련의 책.

수학적 논리 연구?

발의안

수학 논리는 명제에 대한 연구로 시작됩니다. 명제는 그것이 사실인지 아닌지를 모호하게 말할 수 없다는 확언이다. 다음은 명제의 예입니다.

• 2 + 4 = 6.
• 5²= 35.
• 1930 년 유럽에 지진이 발생했습니다..

첫 번째는 진정한 명제이고 두 번째는 거짓 명제입니다. 세 번째로, 비록 그것을 읽는 사람이 그것이 진실인지 또는 즉시인지를 알지 못할 수도 있지만, 실제로 일어 났는지 여부를 확인하고 결정할 수있는 진술이다.

다음은 명제가 아닌 표현식의 예입니다.

• 그녀는 금발이다..
• 2x = 6.
• 놀자.!
• 영화 좋아해??

첫 번째 명제에서 "그녀"가 누구인지는 명시되지 않았으므로 아무 것도 확인 될 수 없다. 두 번째 명제에서 "x"로 표현되는 것은 명시되지 않았다. 그 대신에 자연수 x에 대해 2x = 6이라고 말하면, x = 3 일 때 그것이 성립되기 때문에이 경우에는 명제와 일치 할 것입니다..

마지막 두 문장은 명제에 해당하지 않는다. 왜냐하면 그것들을 부인하거나 단언 할 방법이 없기 때문이다..

두 개 이상의 명제는 알려진 연결 커넥터 (또는 커넥터)를 사용하여 결합 (또는 연결) 될 수 있습니다. 이들은 :

• 부정 : "비가 오지 않아".
• 분리 : "Luisa는 흰색 또는 회색 가방을 구입했습니다".
• 합동 : "4²= 16 및 2 × 5 = 10 ".
• 조건부 : "비가 오면, 오늘 오후에 체육관에 가지 않아.".
• Biconditional : "오늘 오후에 체육관에 가면 비가 오지 않는다.".

이전 연결 관을 소유하지 않은 명제는 단순 명제 (또는 원자)라고 불린다. 예를 들어, "2는 4보다 작습니다"는 간단한 제안입니다. 예를 들어 "1 + 3 = 4 및 4는 짝수"와 같이 일부 결합을 갖는 명제를 복합 명제라고 부릅니다..

명제로 작성된 진술은 일반적으로 길기 때문에 지금까지 보았 듯이 항상 명언을 쓰는 것이 지루합니다. 이런 이유로 상징적 인 언어가 사용됩니다. 명제는 일반적으로 다음과 같은 대문자로 표시됩니다. P, Q, R, S, 등. 그리고 상징적 인 결합은 다음과 같습니다 :

그렇게

그 상호 조건부 제안의

명제이다.

그리고 반대 재연 명제의 (또는 반기문적인)

명제이다.

진실 표

논리의 또 다른 중요한 개념은 진리표의 개념입니다. F로 표시되는 ((V로 표시하고 V 그들의 진리 값을 이야기하는) 참 또는 거짓 그 값라고 : 명제의 진리 값은이 제안에 대해 가지고있는 두 가지 옵션이 있습니다 그것은 정말로 F 다).

복합 명제의 진리 값은 그것에 나타나는 단순 명제의 진리 값에만 의존한다..

보다 일반적으로 일하기 위해, 우리는 구체적인 명제를 고려하지 않을 것이지만, 명제 변수 p, q, r, s, 등등 어떤 제안을 나타낼 것인가?.

이 변수들과 논리적 결합들로 잘 알려진 명제식들은 복합 문이 구성되는 것처럼 형성된다..

명제식에 나타나는 각 변수가 명제로 대체되면 복합 명제가 얻어진다.

다음은 논리 연결 요소의 진리표입니다.

진리표에 값 V 만받는 명제식이 있습니다. 즉, 진리표의 마지막 열에는 값 V가 있습니다.이 유형의 수식은 동어 반복이라고합니다. 예 :

다음은 수식의 진리표입니다.

β가 참일 때마다 α가 참이면 공식 α는 논리적으로 다른 공식 β를 의미한다고합니다. 즉, α와 β의 진리표에서 α가 V를 갖는 행, β도 V를가집니다. α가 값 V를 갖는 행만 관심 대상입니다. 논리 함의 표기법은 다음과 같습니다 :

다음 표는 논리적 의미의 특성을 요약합니다.

진리표가 동일하다면 논리적으로 동등한 두 개의 명제식이 있다고합니다. 다음 표기법은 논리적 등가성을 표현하는 데 사용됩니다.

다음 표는 논리적 등가성의 등록 정보를 요약 한 것입니다.

수학 논리의 유형

다양한 유형의 논리가 있습니다. 특히 철학을 가리키는 실용적 또는 비공식적 인 논리를 비롯하여 다른 영역.

수학에 관한 한, 논리의 유형은 다음과 같이 요약 될 수 있습니다.

• 형식적 또는 아리스토텔레스 논리 (고대 논리).
• 명제 논리 (Propositional logic) : 공식 언어를 사용하여 논증과 명제의 타당성과 관련된 모든 것을 연구하고 상징적 인.
• 상징적 논리 : 형식과 상징적 언어를 사용하여 집합과 그 속성에 대한 연구에 중점을두고 명제 논리에 깊이 관련되어있다..
• 조합 논리 : 가장 최근에 개발 된 알고리즘 중 하나는 알고리즘으로 개발할 수있는 결과를 포함합니다..
• 논리 프로그래밍 : 다양한 패키지 및 프로그래밍 언어에서 사용됨.

지역

자신의 추론과 논쟁의 개발에 매우 ​​필수적인 수학적 논리의 활용 분야 중, 그들은 철학, 설정 이론, 정수론, 대수 건설 수학 및 프로그래밍 언어를 강조.

참고 문헌

1. Aylwin, C. U. (2011). 논리, 세트 및 숫자. 메리다 - 베네수엘라 : 로스 앤젤레스 대학 출판물 협의회.
2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). 번호 이론 입문. EUNED.
3. Castañeda, S. (2016). 숫자 이론의 기본 과정. 북한 대학.
4. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). 수학 논리 추론을 개발하는 방법. 대학 사설.
5. 사라고사, A.C. (s.f.). 숫자 이론. 사설 비전 책.