모건 법



내가모건의 눈 그들은 명제 논리에서 사용 된 추론 규칙으로, 명제와 명제 변수의 분리와 결합을 부정한 결과를 확립합니다. 이 법칙은 수학자 Augustus De Morgan에 의해 정의되었습니다..

Morgan의 법칙은 수학적 추론의 타당성을 입증하는 데 매우 유용한 도구입니다. 나중에 그들은 수학자 조지 불 (George Boole)이 설정 한 개념으로 일반화되었다..

Boole이 만든 일반화는 Morgan의 초기 법칙과 완전히 동일하지만 명제가 아닌 집합을 위해 특별히 개발되었습니다. 이 일반화는 Morgan의 법칙으로도 알려져 있습니다..

색인

  • 1 명제 논리의 검토
    • 1.1 오류
    • 1.2 제안
  • 2 Morgan의 법칙
    • 2.1 데모
  • 3 세트
    • 3.1 집합의 결합, 교차 및 보완
  • 4 세트에 대한 모건의 법칙
  • 5 참고

명제 논리의 검토

모건의 법칙이 구체적이고 사용되는 방식을 살펴보기 전에 명제 논리의 기본 개념을 기억하는 것이 편리합니다. (자세한 내용은 명제 논리 기사를 참조하십시오).

수학적 (또는 명 제적) 논리의 분야에서, 추론은 일련의 전제들 또는 가설들로부터 방출되는 결론이다. 이 결론은 언급 된 전제와 함께 수학적 추론이라고 알려진 것을 야기한다.

이 추론은 시연 또는 거부 될 수 있어야합니다. 말하자면, 수학적 추론에서 모든 추론이나 결론이 유효하지는 않다는 것이다..

허위

진실이라고 가정되는 어떤 가정으로부터 나오는 거짓 추론은 오류라고합니다. 오류는 올바른 것 같은 주장을하는 특이성을 가지고 있지만, 수학적으로는 그렇지 않습니다..

명제 논리는 모호하지 않고 수학적 추론을 확인하거나 반박 할 수있는 방법을 정확하게 개발하고 제공하는 역할을 담당합니다. 즉, 전제로부터 유효한 결론을 추론합니다. 이 방법은 추론의 규칙으로 알려져 있으며, 그 중 Morgan의 법칙은.

발의안

명제 논리의 핵심 요소는 명제입니다. 발의안은 발의안이 유효한지 여부를 말할 수있는 내용이지만 동시에 진실이거나 거짓 일 수는 없다는 진술서입니다. 이 문제에 모호함이 없어야합니다..

덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈의 연산을 통해 숫자가 결합 될 수있는 것처럼, 명제는 알려진 결합 (또는 연결) 논리에 의해 작동 될 수 있습니다 : 부정 (¬, "아니오"), 분리 (V , "O"), 연결 (Ʌ, "and"), 조건부 (→, "if ..., then ...") 및 biconditional (↔, "예".

보다 일반적으로, 특정 명제를 고려하는 대신, 명제를 나타내는 명제 변수를 고려하며 대개 소문자 p, q, r, s 등으로 표시됩니다..

명제식은 논리적 결합의 일부를 통한 명제 변수의 조합입니다. 다시 말해 그것은 명제 변수 (propositional variables)의 구성이다. 그들은 보통 그리스 문자로 표시됩니다.

명제식은 첫 번째가 참일 때마다 후자가 참일 때 논리적으로 다른 것을 암시한다고한다. 이것은에 의해 표시됩니다 :

두 개의 명제식 사이의 논리적 함의가 상호적일 때 - 즉, 이전의 함의가 반대 방향에서도 유효 할 때 - 공식은 논리적으로 등가라고 불리며,

논리적 등가성은 명제식 사이의 일종의 평등성이며 필요시 다른 것을 대체 할 수 있습니다.

모건 법

Morgan의 법칙은 두 개의 명제 형식 즉,

이 법률은 관련된 변수의 부정으로서 분리 또는 결합의 부정을 분리 할 수있게한다.

첫 번째 문장은 다음과 같이 읽을 수 있습니다 : 이항의 부정은 부정의 결합과 같습니다. 그리고 두 번째 것은 이렇게 읽습니다 : 결합의 부정은 부정의 분리입니다..

다시 말해, 두 명제 변수의 불일치를 부정하는 것은 두 변수의 부정의 결합과 동일하다. 마찬가지로, 두 명제 변수의 결합이 두 변수의 부정의 분리와 동일하다는 것을 부인하는 것은.

앞에서 언급했듯이이 논리적 등가성의 대체는 다른 기존 추론 규칙과 함께 중요한 결과를 입증하는 데 도움이됩니다. 이것들을 사용하면 많은 명제 공식을 단순화 할 수 있으므로 작업에 더 유용합니다..

다음은 이러한 Morgan의 법칙 중에서 추론 규칙을 사용한 수학적 증명의 예입니다. 특히, 다음식이 표시됩니다.

다음과 같습니다.

후자는 이해하고 개발하는 것이 더 간단합니다..

데모

Morgan의 법칙의 타당성이 수학적으로 증명 될 수 있음을 언급 할 필요가 있습니다. 한 가지 방법은 진리표를 비교하는 것입니다..

세트

동일한 추론 규칙과 명제에 적용된 논리 개념은 집합을 고려하여 개발할 수도 있습니다. 수학자 조지 불 (George Boole)에 이어 부울 대수학 (Boolean Boolean Algebra)으로 알려져 있습니다..

사례를 차별화하려면 표기법 논리를 이미 본 모든 개념으로 변경하고 표기법으로 변경해야합니다..

집합은 객체의 모음입니다. 집합은 대문자 A, B, C, X, ...로 표시되며 집합의 요소는 소문자 a, b, c, x 등으로 표시됩니다. 원소 a가 집합 X에 속할 때, 그것은로 표시됩니다 :

X에 속하지 않을 때 표기법은 다음과 같습니다.

세트를 표현하는 방법은 요소를 키 안에 배치하는 것입니다. 예를 들어, 자연수의 집합은 다음과 같이 표현됩니다.

집합은 명시 적 요소 목록을 작성하지 않고 표현할 수도 있습니다. 그것들은 : 형식으로 표현 될 수 있습니다. 두 점은 "그런 것"이라고 읽 힙니다. 집합의 요소를 나타내는 변수는 두 점의 왼쪽에 배치되고 충족시키는 속성이나 조건은 오른쪽에 배치됩니다. 이것은 :

예를 들어, -4보다 큰 정수 세트는 다음과 같이 표현 될 수 있습니다.

또는 다음과 같이 동등하고 더 간결합니다.

마찬가지로, 다음 표현식은 각각 짝수와 홀수의 집합을 나타냅니다.

유니온, 교차로 및 보완 세트

다음으로 세트의 경우 논리 결합의 아날로그를 볼 것입니다. 이것은 세트 간의 기본 연산의 일부입니다.

연합과 교차점

집합의 집합 및 집합은 각각 다음과 같은 방식으로 정의됩니다.

예를 들어 집합을 고려해보십시오.

그런 다음해야 할 일 :

보완하다

집합의 보수는 해당 집합에 속하지 않는 요소 (원본이 나타내는 것과 동일한 유형의 요소)로 구성됩니다. 세트 A의 보수는 다음과 같이 표시됩니다.

예를 들어, 자연수 내에서 짝수 세트의 보수는 홀수의 세트이며, 반대의 경우도 마찬가지입니다..

세트의 보완을 결정하려면 처음부터 고려해야 할 보편적 또는 주요 요소 집합을 분명히해야합니다. 예를 들어, 합리적인 것의 자연수에 대한 집합의 보수를 고려하는 것은 동일하지 않습니다.

다음 표는 이전에 정의 된 집합에 대한 작업과 명제 논리의 결합 된 관계 사이에 존재하는 관계 또는 비유를 보여줍니다.

세트를위한 Morgan의 법

마지막으로 모건의 세트 법칙은 다음과 같습니다.

말로 표현하자면, 유니온의 보수는 보완 물의 교차점이며 교차점의 보완 물은 보완 물의 합집합입니다.

첫 번째 평등에 대한 수학적 증거는 다음과 같습니다.

두 번째 데모는 유사합니다..

참고 문헌

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  2. Aylwin, C. U. (2011). 논리, 세트 및 숫자. 메리다 - 베네수엘라 : 로스 앤젤레스 대학 출판물 협의회.
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