이산 확률 특성 및 운동 분포

그 이산 확률 분포 는 X (S) = x1, x2, ..., xi, ...의 각 요소를 할당하는 함수이며, X는 주어진 이산 확률 변수이고 S는 이벤트 공간이 될 확률입니다. f (xi) = P (X = xi)로 정의 된 X (S)의이 함수 f는 때때로 확률 질량 함수.

이 확률의 덩어리는 대개 테이블로 표현됩니다. X는 이산 확률 변수이기 때문에 X (S)는 유한 수의 이벤트 또는 무한대 수를가집니다. 가장 일반적인 이산 확률 분포 중에서 우리는 균일 분포, 이항 분포 및 푸 아송 분포를 갖는다..

색인

• 1 특성
• 2 가지 유형
  • 2.1 n 점에 대한 균일 분포
  • 2.2 이항 분포
  • 2.3 포아송 분포
  • 2.4 초기 하 분포
• 3 연습 문제 해결
  • 3.1 첫 번째 운동
  • 3.2 두 번째 운동
  • 3.3 세 번째 운동
  • 3.4 세 번째 운동
• 4 참고

특징

확률 분포 함수는 다음 조건을 충족해야합니다.

또한, X가 한정된 수의 값 (예를 들어, x1, x2, ..., xn)을 취하는 경우, i> ny이면 p (xi) = 0이므로, 조건 b의 무한 수열은 a 유한 계열.

이 함수는 다음과 같은 속성도 수행합니다.

B가 확률 변수 X와 연관된 이벤트라고합시다. 이는 B가 X (S)에 포함됨을 의미합니다. 구체적으로, B = xi1, xi2, ...라고 가정하자. 그러므로 :

즉, 사건 B의 확률은 B와 관련된 개별 결과의 확률의 합과 같습니다..

이것으로부터 우리는 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다. < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

유형

n 포인트 이상의 균일 분포

확률 변수 X는 각 값에 동일한 확률이 할당되면 n 점이 일정하다는 특성이있는 분포를 따른다고합니다. 그것의 확률 질량 함수는 다음과 같다.

가능한 결과가 두 가지 가능한 실험을 가정 해 봅시다. 가능한 결과가면이나 우표 인 동전을 던지거나 결과가 짝수 또는 홀수 일 수있는 전체 숫자를 선택할 수 있습니다. 이 유형의 실험은 베르누이의 실험으로 알려져 있습니다..

일반적으로 두 가지 가능한 결과를 성공 및 실패라고하며, 여기서 p는 성공 확률이고 1-p는 실패 확률입니다. 우리는 다음과 같은 분포로 서로 독립적 인 n 베르누이 테스트에서 x 성공 확률을 결정할 수 있습니다.

이항 분포

성공 확률 p 인 n 개의 독립적 인 베르누이 테스트에서 x 번의 성공 확률을 나타내는 함수입니다. 그것의 확률 질량 함수는 다음과 같다.

다음 그래프는 이항 분포의 매개 변수의 서로 다른 값에 대한 확률 함수 질량을 나타냅니다.

다음의 분포는 그 이름을 프랑스 수학자 인 Simeon Poisson (1781-1840)에게 빚지고 있으며, 그것을 이항 분포의 한계로 얻었다..

푸 아송 분포

임의의 변수 X는 다음의 확률로 0,1,2,3, ... 양의 정수 값을 취할 수있을 때 매개 변수 λ의 푸 아송 분포를가집니다.

이 식에서 λ는 각 시간 단위에 대한 이벤트의 발생에 해당하는 평균 숫자이고, x는 이벤트가 발생하는 횟수입니다.

그것의 확률 질량 함수는 다음과 같다.

다음으로, 푸 아송 분포의 매개 변수의 서로 다른 값에 대한 확률 질량 함수를 나타내는 그래프.

성공 횟수가 낮고 이항 분포에서 수행 된 테스트의 수 n이 높으면 푸 아송 분포가 이항 분포의 한계이므로 항상 이러한 분포를 근사 할 수 있습니다..

이 두 분포의 주된 차이점은 이항이 두 개의 매개 변수, 즉 n과 p에 의존하는 반면, 포아송은 λ에만 의존하며,이 분포는 분포의 강도라고도합니다.

지금까지 우리는 서로 다른 실험이 서로 독립적 인 경우에 대해서만 확률 분포에 대해서 이야기했습니다. 즉, 결과가 다른 결과의 영향을받지 않을 때.

독립적이지 않은 실험을하는 경우가 발생하면 초고 분포가 매우 유용합니다..

초기 분포

N을 유한 집합의 객체의 총 수라고하면, 어떤 식 으로든 이들 중 k를 식별 할 수 있고, 나머지 N-k 요소에 의해 보수가 구성되는 부분 집합 K가됩니다..

임의로 n 개의 객체를 선택하면 해당 선거에서 K에 속한 객체의 수를 나타내는 무작위 변수 X가 매개 변수 N, n 및 k의 초기 분포를 갖습니다. 그것의 확률 질량 함수는 다음과 같다.

다음 그래프는 초기 대 분포의 매개 변수의 서로 다른 값에 대한 확률의 함수 질량을 나타냅니다.

해결 된 연습 문제

첫 번째 운동

어떤 종류의 장비에 설치되는 라디오 튜브가 500 시간 이상 작동 할 확률은 0.2라고 가정합니다. 20 개의 튜브를 테스트 할 경우 정확히 k가 500 시간 이상 작동 할 확률은 무엇입니까? k = 0, 1,2, ..., 20?

솔루션

X가 500 시간 이상 작동하는 튜브의 수인 경우 X는 이항 분포라고 가정합니다. 그런 다음

그래서 :

k≥11 인 경우 확률은 0.001보다 작습니다.

따라서 우리는 k가 최대 값 (k = 4)에 도달 할 때까지이 k가 500 시간 이상 작동 할 확률이 어떻게 올라 갔는지를 알 수 있습니다..

두 번째 운동

동전 6 회 던졌습니다. 결과가 비싸면 성공이라고 말할 것입니다. 두 얼굴이 정확히 나올 확률은 얼마입니까??

솔루션

이 경우 우리는 n = 6이고 성공과 실패 확률은 p = q = 1 / 2

따라서 두 얼굴이 주어질 확률 (즉, k = 2)은 다음과 같습니다.

세 번째 운동

적어도 4 명의 얼굴을 발견 할 확률은 얼마입니까??

솔루션

이 경우 k = 4, 5 또는 6입니다.

세 번째 운동

공장에서 생산 된 물품의 2 %가 결함이라고 가정 해 봅시다. 100 개 항목의 샘플에 3 개의 결함있는 항목이 있음을 확률 P로 구하십시오..

솔루션

이 경우 n = 100 및 p = 0.02에 대해 이항 분포를 적용하여 결과를 얻을 수 있습니다.

그러나, p가 작기 때문에, 우리는 λ = np = 2 인 푸 아송 근사법을 사용한다. 그래서,

참고 문헌

1. 정 라이 라이 확률 과정을 이용한 초등 수학적 확률론. Springer - Verlag 뉴욕 Inc
2. 케네스 .H. Rosen, 이산 수학과 응용. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. 확률 및 통계 응용 프로그램. S.A. 멕시코 알함브라.
4. Seymour Lipschutz 박사 과정 2000 이산 수학 문제 해결. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz 박사 과정 확률의 이론과 문제점. McGRAW-HILL.