연속 파생 상품 (해결 된 연습 문제 포함)



그 연속 파생 상품 2 차 미분 후에 함수의 미분이다. 연속적인 미분을 계산하는 과정은 다음과 같습니다. 우리는 우리가 도출하여 미분 함수 f '를 얻을 수있는 함수 f를 가지고 있습니다. f의이 미분에 우리는 다시 그것을 유도 할 수있다. (f ')'.

이 새로운 기능을 2 차 미분이라고합니다. 두 번째부터 계산 된 모든 파생물은 연속적입니다. 고차 주문이라고도하는이 함수는 함수 그래프의 플롯에 대한 정보 제공, 상대 극단의 2 차 미분 테스트 및 무한 시리즈의 결정과 같은 훌륭한 애플리케이션을 제공합니다..

색인

  • 1 정의
    • 1.1 예제 1
    • 1.2 예 2
  • 2 속도와 가속도
    • 2.1 예제 1
    • 2.2 예제 2
  • 3 신청
    • 3.1 통합 파생
    • 3.2 예제
    • 3.3 상대적 종료
    • 3.4 예제
    • 3.5 테일러 시리즈
    • 3.6 예제
  • 4 참고

정의

라이프니츠 표기법을 사용하여 "x"에 대한 함수 "and"의 미분은 dy / dx입니다. Leibniz 표기법을 사용하여 "and"의 두 번째 미분을 표현하기 위해 다음과 같이 씁니다.

일반적으로 우리는 다음과 같이 Leibniz 표기법을 사용하여 연속 파생 상품을 표현할 수 있습니다. 여기서 n은 파생 상품의 순서를 나타냅니다..

사용 된 다른 표기법은 다음과 같습니다.

다른 표기법을 볼 수있는 몇 가지 예는 다음과 같습니다.

예제 1

다음에 의해 정의 된 함수 f의 모든 파생물을 얻습니다.

일반적인 파생 기법을 사용하여 f의 미분은 다음과 같습니다.

이 과정을 반복함으로써 2 차 미분, 3 차 미분 등을 얻을 수 있습니다..

4 번째 도함수는 0이고 0의 도함수는 0이므로 다음을 수행해야합니다.

예제 2

다음 함수의 네 번째 미분을 계산하십시오.

주어진 함수를 파생하면 결과는 다음과 같습니다.

속도 및 가속도

파생 상품 발견의 동기 중 하나는 순간 속도의 정의를 찾는 것이 었습니다. 공식 정의는 다음과 같습니다.

y = f (t)를 한 순간에 입자의 궤적을 그래프로 나타낸 함수라고하자. ~, 순간 t에서의 속도는 다음과 같이 주어진다.

입자의 속도를 구하면 다음과 같이 정의되는 순간 가속도를 계산할 수 있습니다.

경로가 y = f (t)로 주어지는 입자의 순간 가속도는 다음과 같습니다.

예제 1

입자가 위치 함수에 따라 선 위로 이동합니다.

"y"는 미터 단위로 측정되고 "t"단위는 초 단위로 측정됩니다..

- 속도가 0 인 순간?

- 가속도가 0 인 순간?

위치 함수 "and"를 유도 할 때 속도와 가속도는 각각 다음과 같이 주어진다.

첫 번째 질문에 답하기 위해, 함수 v가 0이 될 때를 결정하는 것으로 충분하다; 이것은 :

우리는 다음 질문을 유사하게 진행합니다.

예제 2

입자는 다음 운동 방정식에 따라 선 위로 이동합니다.

a = 0 일 때 "t, y"및 "v"를 결정합니다..

그 속도와 가속도가 다음과 같이 주어진다는 것을 안다.

우리는 다음과 같이 유도하고 획득합니다 :

a = 0으로함으로써, 우리는 :

그로부터 우리는 a에 대한 t의 값이 0과 같다고 추론 할 수있다. 그것은 t = 1이다..

그런 다음 t = 1에서 위치 함수와 속도 함수를 평가하면 다음을 수행해야합니다.

응용 프로그램

통합 된 파생

연속 도함수는 내재적 유도로 얻을 수도 있습니다..

예제

다음 타원이 주어지면 "and"를 찾으십시오.

x와 관련하여 암묵적으로 파생 된 것은 다음과 같습니다.

그런 다음, x와 관련하여 내재적으로 다시 유도함으로써 다음을 제공합니다.

마지막으로, 우리는 :

상대적 종료

우리가 2 차 미분에 도출 할 수있는 또 다른 용도는 함수의 상대적인 끝을 계산하는 것입니다.

국부 극한에 대한 1 차 미분의 기준은 우리가 범위 (a, b)에서 연속적인 함수 f를 갖고 f가 그 c에서 무효화되도록 그 간격에 속하는 c가 존재할 때 (즉, c 중요한 포인트 인 경우), 다음 세 가지 경우 중 하나가 발생할 수 있습니다.

- (a, c) 및 f '(x)에 속하는 임의의 x에 대해 f'(x)> 0이면,<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>(c, b)에 속하는 x에 대해 0이면, f (c)는 국소 최소값이다.

- f '(x)가 (a, c)와 (c, b)에서 같은 부호를 갖는다면 f (c)는 국부적 인 종점이 아니라는 것을 의미한다.

2 차 도함수의 기준을 사용하여, 함수의 임계 수가 최대 또는 최소값인지 여부를 알 수 있으며, 앞서 언급 한 간격에서 함수의 부호가 무엇인지 알 필요가 없습니다.

두 번째 파생의 기준은 f '(c) = 0이고 f "(x)가 (a, b)에서 연속적이라면 f"(c)> 0이면 f (c)가 a 국부 최소값 및 f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

f "(c) = 0이면, 우리는 어떤 것도 결론 지을 수 없다..

예제

주어진 함수 f (x) = x4 + (4/3) x3 - 4 배2, 2 차 미분의 기준을 적용하는 f의 상대 최대 값과 최소값을 찾는다..

먼저 f '(x)와 f "(x)를 계산하면 다음과 같습니다.

f '(x) = 4x3 + 4 배2 - 8x

f "(x) = 12x2 + 8x - 8

이제 4x (x + 2) (x-1) = 0 인 경우에만 f '(x) = 0이되며, x = 0, x = 1 또는 x = -2 일 때 발생합니다..

획득 한 임계 수의 상대 극한값을 구하기 위해서는 f "로 평가하면 충분하다. 따라서 그 부호를 관찰하면된다..

f (0) = - 8이므로, f (0)는 국부 최대 값.

f "(1) = 12이므로, f (1)은 국부 최소값.

f "(-2) = 24이므로, f (-2)는 국부 최소값.

테일러 시리즈

f를 다음과 같이 정의 된 함수 라하자.

이 함수는 수렴 반경 R> 0을 가지며 (-R, R)의 모든 차수의 도함수를가집니다. f의 연속 파생어는 우리에게 다음을 준다.

x = 0을 취하면, c의 값을 얻을 수있다.n 그 파생 상품을 기반으로 다음과 같습니다 :

함수 f (즉, f ^ 0 = f)로 n = 0을 취하면 다음과 같이 함수를 다시 쓸 수 있습니다.

이제 함수를 x = a에서 일련의 거듭 제곱으로 간주합니다.

이전 분석과 유사한 분석을 수행하면 함수 f를 다음과 같이 작성해야합니다.

이 시리즈는 테일러 (Taylor) 시리즈의 f로 알려져 있습니다. a = 0 일 때 Maclaurin 시리즈라고하는 특별한 경우가 있습니다. 이 유형의 시리즈는 수치 해석에서 특히 수학적으로 중요합니다. 덕분에 다음과 같은 컴퓨터에서 함수를 정의 할 수 있습니다.x , sin (x) 및 cos (x).

예제

전자 용 Maclaurin 시리즈를 받으십시오.x.

f (x) = e이면x, 다음 f(n)(x) = ex 및 f(n)(0) = 1, 그래서 Maclaurin 시리즈는 다음과 같습니다 :

참고 문헌

  1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (s.f.). 5 차 계산. Mc Graw Hill.
  2. Leithold, L. (1992). 분석적 기하학을 이용한 계산. HARLA, S.A.
  3. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). 계산. 멕시코 : 피어슨 교육.
  4. Saenz, J. (2005). 차동 계산. 사색성.
  5. Saenz, J. (s.f.). 종합 미적분학. 사색성.