대수적 파생물 (예제 포함)



그 대수 파생물 그들은 대수 함수의 특별한 경우에 미분의 연구로 구성됩니다. 유래 물 개념의 기원은 고대 그리스로 돌아 간다. 이 개념의 발전은 물리학과 수학에서 두 가지 중요한 문제를 해결할 필요성에 동기를 부여했습니다..

물리학에서 파생물은 움직이는 물체의 순간 속도를 결정하는 문제를 해결합니다. 수학에서는 주어진 점에서 곡선의 접선을 찾을 수 있습니다..

파생 상품을 사용하여 해결 된 많은 문제와 그 일반화가 있지만 개념 도입 이후의 결과.

미적분학의 개척자는 Newton과 Leibniz입니다. 공식적인 정의를 내리기 전에 수학적, 물리적 관점에서 아이디어를 개발할 것입니다..

색인

  • 1 곡선에 대한 접선 기울기의 미분
  • 2 움직이는 물체의 순간 속도로서의 미분
    • 2.1 대수 함수
  • 3 유도 규칙
    • 3.1 상수로부터 파생 됨
    • 3.2 권력의 파생
    • 3.3 더하기와 빼기에서 파생 됨
    • 3.4 제품 파생
    • 3.5 몫에서 파생 됨
    • 3.6 사슬의 규칙
  • 4 참고

곡선에 대한 접선 기울기의 미분

함수 y = f (x)의 그래프가 (피크 또는 정점 또는 분리가없는) 연속 그래프이고 A = (a, f (a))가 고정 점이라고 가정합니다. 우리는 점 A에서 함수 f의 그래프에 대한 접선의 등식을 찾고 싶습니다.

그래프의 다른 점 P = (x, f (x))를 A 점에 가깝게 놓고 A와 P를 지나는 시컨트 선을 그립니다. 시컨트 선은 하나의 곡선 그래프를 자르는 선입니다 포인트 이상.

우리가 원하는 접선을 얻기 위해, 우리는 이미 선상에 점이 있기 때문에 기울기 만 계산하면됩니다 : 점 A.

점 P를 그래프를 따라 이동시켜 점 A에 더 가깝게 가져 가면 앞선 세컨트 선이 우리가 찾고자하는 접선에 접근하게됩니다. "P가 A로가는 경향이있을 때"한도를 사용하면 두 줄이 일치하므로 기울기도.

할선의 기울기는 다음과 같이 주어진다.

P가 A에 접근한다고 말하는 것은 "x"가 "a"에 접근한다는 것과 같습니다. 따라서 점 A에서 f의 그래프에 대한 접선의 기울기는 다음과 같습니다.

위 식은 f '(a)로 표시되며 점 a에서의 함수 f의 미분으로 정의됩니다. 우리는 분석적으로 점에서 함수의 미분은 한도이지만 기하학적으로는 점에서 함수의 그래프에 접하는 선의 기울기라고 봅니다.

이제 우리는 물리학의 관점에서이 개념을 보게 될 것입니다. 다른 방식으로 정의의 일치를 얻음에도 불구하고 우리는 이전 한계의 동일한 표현에 도달 할 것입니다..

움직이는 물체의 순간 속도로서의 미분

즉석 속도의 간단한 예를 살펴 보겠습니다. 예를 들어, 목적지에 도착하는 자동차가 시속 100km의 속도로 그렇게 한 경우, 한 시간 만에 100km를 주행했다는 것을 의미합니다.

이것은 반드시 전체 시간 동안 자동차가 항상 100km 떨어져 있다는 것을 의미하지는 않습니다. 자동차의 속도계는 어느 순간보다 적거나 많을 수 있습니다. 그가 신호등에서 멈출 필요가 있다면, 그 순간의 속도는 0km였습니다. 그러나, 1 시간 후에, 길은 100 km이었다.

이것은 평균 속도로 알려진 것으로, 우리가 방금 보았 듯이 경과 시간 사이에 이동 한 거리의 지수로 주어집니다. 반면에 순간 속도는 결정된 순간 (시간)에 자동차의 속도계의 바늘을 표시하는 속도입니다.

지금 이것을 좀 더 일반적으로 살펴 봅시다. 객체가 선을 따라 이동하고이 변위가 방정식 s = f (t)로 표현된다고 가정하면 변수 t는 시간을 측정하고 변수 s는 변위를 시작으로 순간 t = 0, 즉 0 일 때, 즉, f (0) = 0.

이 함수 f (t)는 위치 함수.

고정 된 순간 "a"에서 물체의 순간 속도에 대한 표현이 요구됩니다. 이 속도에서 우리는 V (a).

t를 인스턴트 "a"에 즉시 근접하게하십시오. "a"와 "t"사이의 시간 간격에서, 객체가 주어진 위치의 변화는 f (t) -f (a)에 의해 주어진다..

이 시간 간격의 평균 속도는 다음과 같습니다.

순간 속도 V (a)의 근사치입니다. 이 근사값은 t가 "a"에 가까워 질수록 좋아질 것입니다. 따라서,

이 표현은 이전의 경우와 동일하지만 다른 관점에서 관찰됩니다. 이것은 점 "a"에서 함수 f의 미분으로 알려져 있고 위에서 언급 한 바와 같이 f '(a)로 표시됩니다.

변경 h = x-a를 만들면 "x"가 "a"경향이 있고 "h"가 0이되는 경향이 있으며 이전 제한은 다음과 같이 변환됩니다.

두 표현식 모두 동등하지만 경우에 따라 다른 표현식 대신 하나를 사용하는 것이 더 나을 때도 있습니다..

함수 f의 파생물은 다음과 같이 해당 도메인에 속한 모든 점 "x"에서보다 일반적으로 정의됩니다.

함수 y = f (x)의 미분을 표현하기위한 가장 일반적인 표기법은 우리가 방금 본 것입니다 (f 'o와'). 그러나 널리 사용되는 또 다른 표기법은 다음 표현식 중 하나로 표현되는 라이프니츠 표기법입니다.

파생 상품이 본질적으로 한계라는 사실을 고려할 때, 한계가 항상 존재하지는 않기 때문에 존재하지 않을 수도 있습니다. 그것이 존재한다면, 문제의 함수는 주어진 시점에서 구별 가능하다고한다..

대수 함수

대수 함수는 합, 빼기, 곱, 지수, 힘 및 급진적 인 방법으로 다항식을 조합 한 것입니다.

다항식은 다음과 같은 형식의 표현식입니다.

Pn= anxn+ ~n-1xn-1+ ~n-2xn-2+... + a2x2+ ~1x + a0

여기서 n은 자연수이며 모든 a나는, i = 0,1, ..., n은 유리수이며 an≠ 0 이 경우이 다항식의 차수는 n이라고합니다..

다음은 대수 함수의 예입니다.

여기서 지수, 로그 및 삼각 함수는 포함되지 않습니다. 아래에서 볼 수있는 파생 규칙은 일반적으로 함수에 유효하지만 대수 함수의 경우에는 자체를 제한하고 적용 할 것입니다.

우회 규칙

상수로부터 파생 됨

그것은 상수의 파생이 0이라는 것을 확립합니다. 즉, f (x) = c이면, f '(x) = 0이다. 예를 들어, 상수 함수 2의 도함수는 0입니다..

권력에서 파생 됨

f (x) = xn, f '(x) = nxn-1. 예를 들어, x의 미분3 3 배2. 결과적으로, 우리는 항등 함수 f (x) = x의 미분이 f '(x) = 1x라는 것을 얻는다.1-1= x0= 1.

또 다른 예는 다음과 같습니다. be f (x) = 1 / x2, 그러면 f (x) = x-2 및 f '(x) = - 2x-2-1= -2x-3.

뿌리가 합리적인 힘이기 때문에이 속성은 유효한 뿌리입니다.이 경우에도 위의 내용을 적용 할 수 있습니다. 예를 들어, 제곱근의 미분은에 의해 주어진다.

합계와 뺄셈에서 파생 됨

f와 g가 x에서 미분 가능한 함수라면 f + g의 합은 또한 다르며 (f + g) '(x) = f'(x) + g '(x).

유사하게 우리는 (f-g) '(x) = f'(x) -g '(x)를 가진다. 즉, 합계 (뺄셈)의 미분은 파생 상품의 합계 (또는 뺄셈)입니다..

예제

h (x) = x2+x-1, 그 다음에

h '(x) = (x2) + (x) '- (1)'= 2x + 1-0 = 2x + 1.

제품에서 파생 됨

f와 g가 x에서 미분 가능한 함수라면, fg는 또한 x에서 미분 가능하며,

(fg) '(x) = f'(x) g (x) + f (x) g '(x).

결과적으로 우리는 c가 상수이고 f가 x에서 미분 가능한 함수라면, cf는 또한 x와 (cf) '(x) = cf'(X).

예제

f (x) = 3x (x2+1), 그 다음

f '(x) = (3x)'(x2+1) + (3x) (x2+1) '= 3 (x)'(x2+1) + 3x [(x2) '+ (1)']

= 3 (1) (x2+1) + 3x [(2x2-1) +0] = 3 (x2+1) + 3x (2x) = 3x2+3 + 6 배2

= 9x2+3.

몫에서 파생 됨

f와 g가 x와 g (x) ≠ 0에서 미분 가능하다면 f / g도 x에서 미분 가능하다.

예 : h (x) = x3/ (x2-5 배), 그 다음

h '(x) = [(x3) '(x5-5x) - (x3) (x5-5x) '] / (x5-5x)2= [(3x2) (x5-5x) - (x3) (5 배4-5)] / (x5-5x)2.

연쇄 규칙

이 규칙은 함수 구성의 파생을 허용합니다. y = f (u)가 u에서 미분 가능하다면, yu = g (x)가 x에서 미분 가능하다면, 복합 함수 f (g (x))는 x에서 미분 가능하며, [f g '(x))'= f '(g (x)) g'(x).

즉, 복합 함수의 미분은 내부 함수의 미분 (내부 파생물)에 의한 외부 함수의 파생물 (외부 파생물).

예제

f (x) = (x4-2x)3, 다음

f '(x) = 3 (x4-2x)2(x4-2x) '= 3 (x4-2x)2(4x3-2).

함수의 역함수와 고차 파생 상품에 대한 일반화를 계산하는 결과도 있습니다. 응용 프로그램은 광범위합니다. 그 중에는 최적화 문제와 기능의 최대 및 최소 문제에서 유틸리티를 강조합니다..

참고 문헌

  1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). 차동 계산. ITM.
  2. Cabrera, V. M. (1997). 계산 4000. 편집 Progreso.
  3. Castaño, H. F. (2005). 계산에 앞서 수학. 메 델린 대학교.
  4. Eduardo, N.A. (2003). 계산 소개. 임계 값 버전.
  5. 출처, A. (2016). 기본 수학. 계산 소개. 루루 닷컴.
  6. Purcell, E. J., Rigdon, S. E., & Varberg, D. E. (2007). 계산. 피어슨 교육.
  7. Saenz, J. (2005). 차동 계산 (Second ed.). 바르 키시 메토 : 사경.
  8. Thomas, G.B., & Weir, M.D. (2006). 계산 : 여러 변수. 피어슨 교육.