변형 된 라플라스 정의, 역사, 내용, 속성



라플라스에서 변형 된 , 공학, 수학, 다른 과학 영역 중 물리,뿐만 아니라 이론에 큰 관심의 복지에 큰 중요성을 최근에했습니다 것은 과학 및 공학에서 오는 문제를 해결하는 간단한 방법을 제공합니다.

원래 라플라스 변환은 확률 이론에 대한 그의 연구에서 Pierre-Simon Laplace가 제시했으며 처음에는 이론적 인 관심의 수학적 대상으로 취급되었습니다.

현재의 응용은 다양한 수학자들이 전자기 이론의 방정식을 연구 할 때 Heaviside가 사용한 "작동 규칙"에 대한 공식적인 정당성을 제시하려 할 때 발생합니다.

색인

  • 1 정의
    • 1.1 예제
    • 1.2 정리 (존재 조건)
    • 1.3 몇 가지 기본 기능의 Laplace 변환
  • 2 역사
    • 2.1 1782, 라플라스
    • 2.2 올리버 헤비 사이드
  • 3 속성
    • 3.1 선형성
    • 3.2 첫 번째 정리 정리
    • 3.3 두 번째 변환 정리
    • 3.4 규모의 변화
    • 3.5 파생 상품의 라플라스 (Laplace) 변형
    • 3.6 적분의 라플라스 변환
    • 3.7 tn에 의한 곱셈
    • 3.8 t로 나누기
    • 3.9 주기적 함수
    • 3.10 s가 무한대 일 때의 F (s)의 거동
  • 4 역변환
    • 4.1 운동
  • 5 라플라스 변환의 응용
    • 5.1 미분 방정식
    • 5.2 미분 방정식 시스템
    • 5.3 역학 및 전기 회로
  • 6 참고 문헌

정의

f를 t≥0에 대해 정의 된 함수 라하자. 라플라스 변환은 다음과 같이 정의된다.

이전의 적분이 수렴한다면 라플라스 변환이 존재한다고, 그렇지 않으면 라플라스 변환이 존재하지 않는다고 말해진다..

일반적으로 변환하려는 함수를 나타 내기 위해 소문자가 사용되고 대문자는 변환에 해당합니다. 이 방법으로 우리는 다음을 갖게 될 것입니다.

예제들

상수 함수 f (t) = 1을 생각해 봅시다. 변환은 다음과 같습니다.

적분이 수렴 할 때마다 항상 s> 0이 제공됩니다. 그렇지 않으면 s < 0, la integral diverge.

g (t) = t 라하자. 당신의 라플라스 변환은에 의해 주어진다.

부품을 통합하고 귀하가-일 이전 예제와 함께 t가 무한대이고 s> 0 일 때 0으로 변합니다.

변환이 존재할 수도 있고 존재하지 않을 수도 있습니다. 예를 들어, 함수 f (t) = 1 / t에 대해 라플라스 변환이 수렴하지 않으며 따라서 변환이 존재하지 않는다는 것을 정의하는 정수.

함수 f의 라플라스 변환이 존재한다는 것을 보장하기위한 충분한 조건은 f가 t≥0에 대해 부분적으로 연속적이며 지수 함수의 순서이다.

a> 0 인 임의의 구간 [a, b]에 대하여 유한 한 점 t가 존재할 때 함수가 t≥0에 대해 부분적으로 연속적이라고 말해진다.k, 여기서 f는 불연속성을 가지며 각 부분 구간에서 연속적이다 [tk-1,~k].

반면에, 실수 상수 M> 0, c와 T> 0이있는 경우 함수는 지수 함수 인 것으로 알려져 있습니다.

예를 들어 f (t) = t2 | 지수가 |2| < e3t 모든 t> 0에 대해.

공식적인 방법으로 우리는 다음의 정리를 가지고 있습니다.

정리 (존재 조건)

f가 t> 0이고 지수 차수가 c 인 부분에 대해 연속 함수이면, s> c에 대한 라플라스 변환이 있습니다..

즉이 이러한 조건을 충족하고 여전히 라플라스가 존재 변환하지 않는 기능이있는 경우가 있습니다, 충분 조건이므로주의하는 것이 중요하다.

예를 들어 함수 f (t) = t-1/2 t≥0에 대해 부분적으로 연속적이지는 않지만 라플라스 변환이 존재한다..

몇 가지 기본 기능의 라플라스 변환

다음 표는 가장 일반적인 함수의 라플라스 변환을 보여줍니다.

역사

라플라스는 1749 년 태어 났으며, 그의 명성 년 그는 프랑스의 뉴턴으로 알려져 있도록했다 1827 년에 사망 한 피에르 시몽 라플라스, 프랑스의 수학자와 이론 천문학의 이름을 따서 명명된다 변환.

1744 년 ​​Leonard Euler는 그의 연구를 형식에 대한 적분에 바쳤다.

상미 분 방정식의 해법이지만, 신속하게이 조사를 포기했다. 후에 오일러를 크게 찬양하는 Joseph Louis Lagrange도 이러한 유형의 적분을 조사하여 확률 이론.

1782, 라플라스

1782 년에 라플라스 (Laplace)는 미분 방정식에 대한 해답으로 이러한 통합을 연구하기 시작했으며 1785 년 역사가들에 따르면 그는 문제를 재구성하기로 결정했다. 나중에 문제를 재 해석하여 나중에 라플라스 변환을 낳았다..

확률 이론 분야에 소개되면서, 그것은 과학자들에게 거의 관심이 없었으며 단지 이론적 인 관심의 수학적 목적으로 만 여겨졌습니다.

올리버 헤비 사이드

영어 엔지니어 올리버 헤비 사이드가 그것을 현대적인 응용 프로그램 라플라스 변환을주는 미분 연산자가 대수 변수처럼 취급 될 수 있다는 것을 발견했을 때 그것은 19 세기 중반이었다.

올리버 헤비 사이드가 1850 년에 태어난 물리학, 전기 엔지니어와 수학자 영국인이었고, 라플라스를 사용하여 진동 이론과 연구에 적용 미분 방정식을 해결하기 위해 노력하는 동안 1925 년 런던에서 사망 형성 시작 라플라스의 현대 응용 프로그램 변형.

Heaviside가 보여준 결과는 당시 과학 공동체 전체에 빠르게 확산되었지만, 그 작업이 엄격하지 않았기 때문에 더 전통적인 수학자들에 의해 비판을 받았다..

그러나 Heaviside가 물리 방정식을 푸는 작업의 유용성은 그의 방법을 물리학 자 및 엔지니어에게 널리 알리게했습니다.

이러한 좌절에도 불구하고 실패한 시도의 수십 년 후에, 20 세기 초 Heaviside가 제시 한 운영 규칙에 대한 엄격한 정당성이 주어질 수있었습니다..

이러한 시도는 Bromwich, Carson, van der Pol과 같은 다양한 수학자들의 노력 덕분에 이루어졌습니다..

등록 정보

라플라스 변환의 속성 중에서 다음과 같은 것이 두드러집니다.

선형성

c1과 c2를 각각 라플라스 변환이 F (s)와 G (s) 인 상수와 f (t)와 g (t) 함수라고하면,

이 속성 때문에 라플라스 변환은 선형 연산자라고합니다.

예제

첫 번째 번역 정리

다음과 같은 경우 :

그리고 'a'는 실수입니다.

예제

cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) 라플라스 변환의 경우 :

두 번째 번역 정리

그런 다음

예제

f (t) = t ^ 3이면 F (s) = 6 / s ^ 4이다. 따라서,

G (s) = 6e-2 초/ s ^ 4

규모의 변화

그리고 'a'는 0이 아닌 실수입니다.

예제

f (t) = sin (t)의 변환은 F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1)이기 때문에

파생 상품의 라플라스 (Laplace)의 변형

f, f ', f ", ..., f(n) t≥0에 대해 연속적이며 지수 차수이며 f(n)(t)는 t≥0에 대해 부분적으로 연속적이다.

적분의 라플라스 변환

그런 다음

t에 의한 곱셈n

우리가해야한다면

그런 다음

T로 나누기

우리가해야한다면

그런 다음

주기 함수

f를주기 T> 0, 즉 f (t + T) = f (t) 인주기 함수 라하자.

s가 무한대 일 때의 F (s)의 거동

f가 부분적으로 그리고 지수 적으로 연속적이고

그런 다음

역변환

라플라스 변환을 함수 f (t)에 적용하면 변환을 나타내는 F (s)를 얻습니다. 같은 방식으로 f (t)는 F (s)의 역 라플라스 변환이고 다음과 같이 쓰여질 수 있다고 말할 수 있습니다.

우리는 라플라스 변환이 f (t) = 1이고 g (t) = t가 F (s) = 1 / s이고 G (s)가 1 / s임을 알고있다.2 그러므로 우리는

일반적인 역 라플라스 변환은 다음과 같습니다

또한, 역 라플라스 변환은 선형이며, 즉,

운동

찾기

이 연습 문제를 해결하려면 함수 F (s)를 이전 표 중 하나와 일치시켜야합니다. 이 경우, n + 1 = 5를 취하여 역변환의 선형성을 사용하면 4를 곱하고 나눕니다. 방법

두 번째 역변환의 경우, 부분 분수를 적용하여 함수 F (s)를 다시 쓰고 그 다음 선형성의 특성을

이 예제에서 알 수 있듯이 평가되는 함수 F (s)가 표에 주어진 함수와 정확히 일치하지 않는 것이 일반적입니다. 이러한 경우에는 관찰 된대로 적절한 형식에 도달 할 때까지 함수를 다시 작성하면 충분합니다..

라플라스 변환의 응용

미분 방정식

라플라스 변환의 주요 응용 프로그램은 미분 방정식을 푸는 것입니다..

파생 변형의 속성을 사용하면

그리고 t = 0에서 평가 된 n-1 유도체의.

이 속성은 상수 계수가있는 미분 방정식이 포함 된 초기 값 문제를 해결하는 데 매우 유용합니다..

다음 예제는 Laplace 변환을 사용하여 미분 방정식을 푸는 방법을 보여줍니다..

예제 1

다음과 같은 초기 값 문제가 주어진다.

솔루션을 찾으려면 Laplace transform을 사용하십시오..

미분 방정식의 각 멤버에 라플라스 변환을 적용합니다.

파생 상품의 변형에 대한 재산

모든 표현과 소거를 개발함으로써 우리는 남았습니다.

부분 분수를 사용하여 방정식의 오른쪽을 다시 쓰면

마지막으로 우리의 목표는 미분 방정식을 만족하는 함수 y (t)를 찾는 것입니다. 역 라플라스 변환을 사용하면 결과를 얻을 수 있습니다.

예제 2

해결

앞의 경우와 마찬가지로 방정식의 양변에 변환을 적용하고 용어별로 용어를 분리합니다.

이런 식으로 우리는 결과적으로

주어진 초기 값으로 대체하고 Y (s)를 제거하면,

간단한 분수를 사용하여 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

그리고 라플라스의 역변환을 적용하면 결과가 나온다.

이 예제에서이 방법은 미분 방정식을 푸는 전통적인 방법보다 훨씬 좋지 않다는 잘못된 결론에 도달 할 수 있습니다..

라플라스 변환이 제공하는 이점은 매개 변수 변형을 사용할 필요가 없거나 불확정 계수 방법의 다양한 경우에 대해 걱정할 필요가 없다는 것입니다.

이 방법으로 초기 값의 문제를 해결할뿐 아니라 처음부터 초기 조건을 사용하므로 특정 솔루션을 찾기 위해 다른 계산을 수행 할 필요가 없습니다.

미분 방정식 시스템

라플라스 변환은 다음 예제와 같이 동시 상미 분 방정식에 대한 솔루션을 찾는 데에도 사용할 수 있습니다..

예제

해결

초기 조건 x (0) = 8e 및 (0) = 3.

우리가해야한다면

그런 다음

우리의 결과를 해결

그리고 Laplace 역변환을 적용 할 때 우리는

역학 및 전기 회로

라플라스 변환은 물리학에서 매우 중요하며 주로 기계 및 전기 회로에 대한 응용이 있습니다.

간단한 전기 회로는 다음 요소로 구성됩니다.

스위치, 배터리 또는 소스, 인덕터, 저항 및 커패시터. 스위치가 닫히면 i (t)로 표시된 전류가 생성됩니다. 커패시터 전하는 q (t)로 표시된다..

Kirchhoff의 두 번째 법칙에 따라 소스 E에서 폐회로로 생성 된 전압은 각 전압 강하의 합계와 동일해야합니다.

전류 i (t)는 i = dq / dt에 의해 커패시터의 전하 q (t)와 관련된다. 반면, 전압 강하는 다음과 같이 각 요소에 정의됩니다.

저항의 전압 강하는 다음과 같다. iR = R (dq / dt)

인덕터의 전압 강하는 L (di / dt) = L (d2q / dt2)

커패시터의 전압 강하는 q / C이다.

이 데이터를 사용하여 두 번째 Kirchhoff 법칙을 닫힌 단순 회로에 적용하면 시스템을 설명하고 q (t)의 값을 결정할 수있는 2 차 미분 방정식이 얻어집니다..

예제

도면에 도시 된 바와 같이, 인덕터, 커패시터 및 저항은 배터리 (E)에 연결된다. 인덕터는 2 henries, 0.02 패럿의 콘덴서 및 16 onhm의 저항이다. 시간 t = 0에서 회로는 닫힌다. E = 300V이면 언제든지 t> 0에서 부하 및 전류를 찾습니다..

이 회로를 설명하는 미분 방정식은 다음과 같습니다.

초기 조건이 q (0) = 0이면, i (0) = 0 = q '(0).

라플라스 변환을 적용하면

그리고 Q (t)

그런 다음 역 라플라스 변환을 적용하면

참고 문헌

  1. G. Holbrook, J. (1987). 전자 엔지니어를위한 라플라스 변환. 라임.
  2. Ruiz, L. M., & Hernandez, M. P. (2006). 응용 프로그램과 미분 방정식과 라플라스 변환. 사설 UPV.
  3. Simmons, G.F. (1993). 응용 프로그램 및 기록 메모가있는 미분 방정식. 맥그로 힐.
  4. Spiegel, M. R. (1991). 라플라스 변환. 맥그로 힐.
  5. Zill, D. G., & Cullen, M. R. (2008). 국경에서 값의 문제를 가진 미분 방정식. Cengage Learning 편집자, S.A..