베이 즈 정리 정리, 응용, 연습



그 베이 즈 정리 주어진 이벤트 B의 확률 분포와 주어진 A의 확률 분포의 관점에서 주어진 B의 조건부 확률을 표현할 수있는 절차이다.

이 정리은 매우 유용합니다. 왜냐하면 사건 A가 B가 발생했음을 알게 될 확률과 그 반대가 발생할 확률, 즉 B가 A로 주어진다는 가능성을 연관시킬 수 있기 때문입니다.

베이 즈의 정리는 수학자이기도 한 18 세기 영국 신학자 인 Thomas Bayes 목사의 은막이었다. 그는 신학에서 여러 작품의 저자 였지만, 현재 베이 즈 정리 (Bayes Theorem)가 주요 결과로 두드러진 수학 논문으로 알려져 있습니다..

베이 즈 (Bayes)는 1763 년에 출판 된 "기회의 교리에서 문제를 해결하기위한 에세이"라는 제목의 논문에서이 정리를 다루었으며 그 가능성에 관한 교리상의 문제를 해결하기위한 커다란 연구가 개발되었다. 다양한 지식 영역에서의 응용 연구.

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  • 1 설명
  • Bayes 정리의 2 응용
    • 2.1 해결 된 연습
  • 3 참고

설명

첫째,이 정리에 대한 더 깊은 이해를 위해 확률 이론의 기본 개념, 특히 조건부 확률에 대한 곱셈 정리가 필요하다.

샘플 공간 S의 임의의 이벤트에 대해 E.

그리고 파티션의 정의는 우리에게 A1 ,A2,..., An 샘플 공간 S의 이벤트, 이들은 A의 파티션을 형성합니다. A나는 그들은 상호 배타적이며 그들의 노조는 S.

이것을 가지고 B를 다른 사건으로 봅시다. 그러면 B를 다음과 같이 볼 수 있습니다.

어디서 A나는 B와 교차 된 상호 배타적 인 사건.

결과적으로,

그런 다음 곱셈 정리를 적용하면

다른 한편, B가 주어진 Ai의 조건부 확률은

적절히 대입하면 우리는

베이 즈 정리의 응용

이 결과 덕분에 연구 그룹과 다양한 기업들은 지식에 기반한 시스템을 개선했습니다..

예를 들어, 질병 연구에서 베이 즈 정리 (Bayes 's theorem)는 주어진 특성을 가진 사람들 집단에서 질병이 발견 될 확률을 식별하는 데 도움이 될 수 있으며, 질병의 세계적인 속도와 그 특성의 우월성을 데이터로 취한다. 건강하고 아픈 사람들.

반면에 첨단 기술의 세계에서는이 결과 덕분에 "지식에 기반한"소프트웨어를 개발 한 대기업에 영향을 미쳤습니다..

Microsoft Office Assistant를 매일 사용하는 예가 있습니다. 베이 즈 정리 (Bayes theorem)는 소프트웨어가 사용자가 제시하는 문제를 평가하고 제공 할 조언을 결정하므로 사용자의 습관에 따라 더 나은 서비스를 제공 할 수 있습니다..

이 공식은 최근까지 무시되어 왔음에 주목해야합니다. 이는 주로이 결과가 200 년 전에 개발되었을 때 실용적인 용도가 거의 없었기 때문입니다. 그러나 우리 시대에는 위대한 기술 진보 덕분에 과학자들은이 결과를 실천에 옮길 수있는 방법을 얻었습니다.

해결 된 운동

운동 1

휴대 전화 회사에는 두 대의 A와 B 기계가 있습니다. 생산 된 휴대 전화 중 54 %는 A 기기에서 만들어지고 나머지는 B 기기에서 만들어집니다. 모든 휴대 전화가 양호한 상태는 아닙니다.

A가 만든 결함있는 휴대폰의 비율은 0.2이며 B는 0.5입니다. 해당 공장의 휴대 전화에 결함이있을 확률은 얼마입니까? 휴대 전화에 결함이 있음을 알고 A 기기에서 나올 확률은 얼마입니까??

솔루션

여기에서는 두 부분으로 이루어진 실험을합니다. 첫 번째 부분에서는 이벤트가 발생합니다.

A : 기계 A가 만든 휴대 전화.

B : B 기기가 만든 휴대 전화.

A 기기는 54 %의 휴대 전화를 생산하고 나머지는 B 기기에서 생산되므로 B 기기는 46 %의 휴대 전화를 생산합니다. 이 사건의 확률은 다음과 같습니다.

P (A) = 0.54.

P (B) = 0.46.

실험의 두 번째 부분의 이벤트는 다음과 같습니다.

D : 결함 셀.

E : 비 결함 셀.

성명서에서 말했듯이,이 사건들의 확률은 첫 번째 부분에서 얻은 결과에 달려있다.

P (D | A) = 0.2.

P (D | B) = 0.5.

이 값을 사용하여 이러한 이벤트의 보완 항목의 확률을 결정할 수도 있습니다.

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0.2

= 0.8

및

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0.5

= 0.5.

이제 이벤트 D는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

조건부 확률에 대한 곱셈 정리를 사용하면 결과는 다음과 같습니다.

첫 번째 질문에 대한 답변.

이제 P (A | D)를 계산하면 Bayes Theorem이 적용됩니다.

베이 즈 정리 (Bayes Theorem) 덕분에, 휴대폰 A가 결함이 있음을 알게되면서 휴대폰 A가 만든 확률은 0.319.

운동 2

세 개의 상자에는 흰색과 검은 색 공이 들어 있습니다. 각각의 구성은 다음과 같습니다. U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.

상자 중 하나가 무작위로 선택되고 임의의 공이 추출되어 흰색으로 판명됩니다. 가장 가능성이 높은 상자는 어느 것입니까??

솔루션

U1, U2 및 U3을 통해 선택한 상자를 나타냅니다..

이러한 이벤트는 S의 파티션을 구성하며 상자의 선택은 무작위이므로 P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3임을 확인합니다.

B = 추출 된 공이 흰색이라면 P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P .

우리가 얻고 자하는 것은 공이 흰색, 즉, P (Ui | B)임을 알면서 상자가 Ui에서 꺼내 질 확률이며, 세 값 중 어느 값이 가장 높았는지를 알 수 있습니다. 상자가 흰 공이 추출되었을 가능성이 가장 높습니다..

첫 번째 상자에 Bayes 정리를 적용하면 다음과 같습니다.

그리고 다른 두 사람은

P (U2 | B) = 2 / 6 및 P (U3 | B) = 1 / 6.

그런 다음, 첫 번째 상자는 흰 공 추출을 위해 선택되었을 확률이 더 높은 상자입니다.

참고 문헌

  1. 정 라이 라이 확률 과정을 이용한 초등 수학적 확률론. Springer - Verlag 뉴욕 Inc
  2. 케네스 .H. Rosen, 이산 수학과 응용. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. 확률 및 통계 응용 프로그램. S.A. 멕시코 알함브라.
  4. Seymour Lipschutz 박사 과정 2000 이산 수학 문제 해결. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz 박사 과정 확률의 이론과 문제점. McGRAW-HILL.