몫:
제품 교차 특성, 응용 및 해결 된 운동
그 교차 제품 또는 제품 벡터 두 개 이상의 벡터를 곱하는 방법입니다. 벡터를 곱하는 세 가지 방법이 있지만, 이들 중 어느 것도 단어의 일반적인 의미에서의 곱셈은 아닙니다. 이러한 형태 중 하나는 벡터 곱 (vector product)으로 알려져 있으며, 그 결과 세 번째 벡터.
교차 곱 또는 외부 곱이라고도하는 벡터 제품은 다른 대수 및 기하학적 특성을가집니다. 이러한 속성은 특히 물리학 연구에서 매우 유용합니다..
색인
- 1 정의
- 2 속성
- 2.1 속성 1
- 2.2 속성 2
- 2.3 속성 3
- 2.4 재산 4 (트리플 스칼라 제품)
- 2.5 특성 5 (삼중 벡터 생성물)
- 2.6 속성 6
- 2.7 속성 7
- 2.8 재산 8
- 3 신청
- 3.1 평행 육면체의 부피 계산
- 4 연습 문제 해결
- 4.1 운동 1
- 4.2 운동 2
- 5 참고
정의
다음과 같은 벡터 곱의 형식 정의는 다음이 = (A1이 A2, A3) 및 B = (B1이 B2가, B3), 다음과 AXB로 나타내고 B의 벡터 제품, 벡터 인 경우 :
AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
표기법 AxB로 인해, "A cross B".
외부 제품을 사용하는 방법의 예는 A = (1, 2, 3) 및 B = (3, -2, 4)가 벡터 인 경우 벡터 제품의 정의를 사용하여 다음을 얻습니다.
AXB = (1, 2, 3) × (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 1 * 4 (- 2) - 2 * 3)
AxB = (8 + 6, 9-4, -2-6) = (14, 5, - 8).
벡터 곱을 표현하는 또 다른 방법은 행렬식 표기법.
2 차 행렬식의 계산식은 다음과 같습니다.
따라서 정의에 주어진 벡터 곱의 공식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
이것은 대개 3 차 행렬식에서 다음과 같이 단순화됩니다.
여기서 i, j, k는 R의 기초를 형성하는 벡터를 나타낸다.3.
십자가를 표현하는이 방법을 사용하면 앞의 예를 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
등록 정보
벡터 제품이 소유하고있는 일부 속성은 다음과 같습니다.
속성 1
A가 R의 벡터이면3, 우리는 :
- AxA = 0
- Ax0 = 0
- 0xA = 0
이러한 속성은 정의를 사용하여 쉽게 확인할 수 있습니다. A = (a1, a2, a3)이라면 우리는 :
AxA = (a2a3-a3a2, a3a1-a1a3, a1a2-a2a1) = (0, 0, 0) = 0.
Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.
i, j, k가 R의 단위를 나타내는 경우3, 우리는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
i = (1, 0, 0)
j = (0, 1, 0)
k = (0, 0, 1)
그런 다음 우리는 다음과 같은 속성을 충족시켜야합니다.
연상 기호 규칙으로 이러한 속성을 기억하려면 일반적으로 다음과 같은 원이 사용됩니다.
우리는 벡터 자체가 벡터 0이되고 나머지 제품은 다음 규칙을 사용하여 얻을 수 있다는 것을 알아야합니다.
시계 방향으로 연속 된 두 벡터의 교차 곱은 다음 벡터를 나타냅니다. 반 시계 방향을 고려할 때 결과는 음수 부호가있는 다음과 같은 벡터입니다.
이러한 특성 덕분에 벡터 제품은 교환 가능하지 않다는 것을 알 수 있습니다. 예를 들어, i x j ≠ j x i임을 알면 충분하다. 다음 속성은 AxB와 BxA가 일반적으로 어떻게 관련되는지 알려줍니다.
속성 2
A와 B가 R 벡터 인 경우3, 우리는 :
AxB = - (BxA).
데모
A = (a1, a2, a3) 및 B = (b1, b2, b3) 인 경우 외부 제품의 정의에 따라 다음을 얻습니다.
AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)
= (- 1) (BxA).
이 제품은 다음 예제와 연관되어 있지 않음을 알 수 있습니다.
ix (ixj) = ixk = - j 그러나 (ixi) xj = 0xj = 0
이것으로부터 우리는 다음을 관찰 할 수 있습니다 :
ix (ixj) ≠ (ixi) xj
속성 3
A, B, C가 R 벡터이면3 r이 실수 인 경우 다음 사항이 참입니다.
- Ax (B + C) = AxB + AxC
- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)
이러한 특성 덕분에 우리는 대수의 법칙을 사용하여 벡터 곱을 계산할 수 있습니다. 단, 그 순서는 존중되어야합니다. 예 :
A = (1, 2, 3) 및 B = (3, -2, 4)이면, R의 정식 기준에 따라 다시 쓸 수 있습니다3.
따라서, A = i + 2j + 3k 및 B = 3i - 2j + 4k. 그런 다음 이전 속성 적용 :
AxB = (i + 2j + 3k) × (3i - 2j + 4k)
= 3 (IXI) - 2- (ixj) + 4 (ixk) + 6 (JXI) - 4 (jxj) + 8 (JXK) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (KXK)
3 = (0) - (2) (k)는 + 4 (- J) 6 + (- K) - (4) (0) + 8의 (I) + 9 (j) - (6) (- I) +12 (0)
= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k
= (14, 5, - 8).
속성 4 (트리플 스칼라 생성물)
처음에 언급했듯이 벡터 제품 외에 벡터를 곱하는 다른 방법이 있습니다. 이러한 방법 중 하나는 스칼라 제품 또는 내부 제품으로, A ∙ B로 표시되며 그 정의는 다음과 같습니다.
A = (a1, a2, a3)이고 B = (b1, b2, b3)이면 A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3
두 제품을 모두 관련시키는 속성은 트리플 스칼라 제품.
A, B 및 C가 R 벡터 인 경우3, 다음 A ∙ BxC = AxB ∙ C
예를 들어, A = (1,1), B = (- 3, 4, 2) 및 C = (- 5, 1, - 4)로 주어진다면,.
BxC = -3k-12j + 20k-16i-10j-2i = -18i-22j + 17k
∙ BXC = (1, 1 - 2) ∙ (- 18 - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74
반면에 :
AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k
AXB는 ∙ C = (10, 4, 7) ∙ = (10) (- 4 - 5, 1) (- 5) + (4) (1) (7) (- 4) = - 74
또 다른 트리플 제품은 Axe (BxC)이며, 이는 트리플 벡터 제품.
속성 5 (트리플 벡터 곱)
A, B 및 C가 R 벡터 인 경우3, 다음 :
Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C
예를 들어, A = (1,1), B = (- 3, 4, 2) 및 C = (- 5, 1, - 4)로 주어진다면,.
앞의 예에서 BxC = (- 18, - 22, 17)임을 알 수 있습니다. Ax (BxC)를 계산해 봅시다 :
Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k
다른 한편으로는, 우리는 :
A ∙ C = (1, 1, -2) ∙ (5, 1, -4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) 1 + 8 = 4
∙의 B = (1, 1 - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) ~ (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3
그래서, 우리는해야합니다 :
(A, B) C = 4 (-3,4,2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12,16,8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27, 19, -4)
속성 6
이는 벡터의 기하학적 특성 중 하나입니다. A와 B가 R의 두 벡터 인 경우3 Θ는 이들 사이에 형성된 각도이고,
|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), 여기서 || ∙ || 벡터의 모듈 또는 크기를 나타냅니다..
이 속성의 기하학적 해석은 다음과 같습니다.
A = PR 및 B = PQ로하자. 그러면 다음 그림과 같이 벡터 A와 B가 이루는 각도가 삼각형 RQP의 각도 P가됩니다.
따라서, 인접하는 양측 PR 및 PQ가 || B |||| 죄 (Θ) || 인 평행 사변형의 면적은, 이미 || 기준으로 취할 수 || 그 높이는 | B || sin (Θ)로 주어지며,.
이 때문에 우리는 | AxB || 상기 평행 사변형의 면적.
예제
사변형 상기 P (1, -2.3), Q (4,3, -1), R (2, 2,1)와 S (5,7, -3) 사변형 보여 다음 정점을 감안 평행 사변형이며 그 영역을 찾는다..
이를 위해 우리는 먼저 사변형의 변의 방향을 결정하는 벡터를 결정합니다. 이것은 :
A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)
B = PR = (2-1, 2 + 2, 1-3) = (1, 4, -2)
C = RS = (5-2,7-2, -3-1) = (3, 5, -4)
D = QS = (5-4,7-3, -3 + 1) = (1, 4, -2)
우리가 볼 수 있듯이 A와 C는 같은 벡터 디렉터를 가지고 있습니다. 같은 방식으로 B와 D에서 발생합니다. 따라서 PQRS는 평행 사변형입니다.
상기 평행 사변형의 면적을 갖기 위해, 우리는 BxA를 계산한다 :
BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)
= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i
= - 6i - 2j - 7k.
따라서 제곱 된 영역은 다음과 같습니다.
|| BxA ||2 = (- 6)2 + (- 2)2 + (- 7)2 = 36 + 4 + 49 = 89.
평행 사변형 영역은 89의 제곱근이라고 결론 지을 수 있습니다.
속성 7
두 벡터 A와 B는 R에서 평행하다.3 예, AxB = 0 인 경우에만
데모
A 또는 B가 널 벡터이면 AxB = 0을 따릅니다. 0 벡터가 다른 벡터와 평행하기 때문에 속성이 유효합니다..
두 벡터 중 어느 것도 제로 벡터가 아니면, 그 크기가 0이 아닌 것입니다. 즉, || A || ≠ 0 || B || ≠ 0이므로, || AxB || sin (Θ) = 0 인 경우에만 0이되며, Θ = π 또는 Θ = 0 인 경우에만 발생합니다..
따라서 Θ = π 또는 Θ = 0 일 때만 AxB = 0을 결론 지을 수 있습니다. 두 벡터가 서로 평행 할 때만 발생합니다.
속성 8
A와 B가 R의 두 벡터 인 경우3, AxB는 A와 B 모두에 수직이다..
데모
이 데모에서는 A ∙ B가 0 일 경우 두 개의 벡터가 수직임을 기억하십시오. 또한 다음과 같은 사실을 알고 있습니다.
A ∙ AxB = AxA ∙ B입니다. 그러나 AxA는 0과 같습니다. 따라서 다음을 수행해야합니다.
A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.
이것으로 우리는 A와 AxB가 서로 수직이라고 결론을 내릴 수 있습니다. 유사한 방식으로, 우리는 다음을 수행해야합니다.
AxB ∙ B = A ∙ BxB.
BxB = 0이므로 다음을 수행해야합니다.
AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.
따라서, AxB와 B는 서로 수직이며, 이것으로 속성이 증명됩니다. 비행기의 방정식을 결정할 수 있기 때문에 이것은 매우 유용합니다..
예제 1
점 P (1, 3, 2), Q (3, -2,2) 및 R (2, 1, 3)을 통과하는 평면의 방정식을 얻습니다..
A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) 및 B = PR = (2-1 - 3, 3 - 2)라고하자. 그러면 A = - i + 3j + k이고 B = i - 2j + k이다. 이 세 점에 의해 형성된 평면을 찾으려면 평면에 수직 인 벡터를 찾으려면 AxB.
AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.
이 벡터를 사용하고 점 P (1, 3, 2)를 취하면 다음과 같이 평면 방정식을 결정할 수 있습니다.
(x-1, y-3, z-2) = 5 (x-1) + 2 (y-3) - (z-2) = 0
그래서 평면의 방정식은 5x + 2y - z - 9 = 0입니다..
예제 2
점 P 포함하는 평면의 방정식 찾기 (4, 0 - 2) 및 평면 (X)의 각에 수직 - Y + Z = 0 + 2 × Y - 4Z - 5 = 0 .
ax + by + cz + d = 0 인 법선 벡터가 (a, b, c)임을 알면, (1, -1,1)은 x - y + z = 0 y의 법선 벡터입니다 2.1, -4)는 2x + y - 4z - 5 = 0의 법선 벡터입니다.
따라서, 원하는 평면에 대한 법선 벡터는 (1, -1,1)과 (2, 1, - 4)에 수직이어야합니다. 상기 벡터는 :
(1, -1,1) x (2,1, -4) = 3i + 6j + 3k.
그런 다음, 우리가 추구하는 평면은 점 P (4,0, - 2)를 포함하고 벡터 (3,6,3)를 법선 벡터.
3 (x-4) + 6 (y-0) + 3 (z + 2) = 0
x + 2y + z-2 = 0.
응용 프로그램
평행 육면체의 부피 계산
트리플 스칼라 곱을 가진 응용 프로그램은 그림에서와 같이 벡터 A, B, C에 의해 주어진 모서리를 갖는 평행 육면체의 부피를 계산할 수 있어야한다.
이 응용 프로그램을 다음과 같이 추론 할 수 있습니다. 이전에 말했던 것처럼 벡터 AxB는 A와 B의 평면에 수직 인 벡터입니다. 벡터 - (AxB)는 해당 평면에 수직 인 또 다른 벡터입니다.
우리는 벡터 C와 가장 작은 각도를 형성하는 법선 벡터를 선택합니다. 일반성을 잃지 않고 AxB를 C와의 각도가 가장 작은 벡터 라하자..
우리는 AxB와 C 모두 같은 출발점을 가지고 있습니다. 또한, 평행 사변형의 밑변을 형성하는 평행 사변형의 면적은 | AxB ||입니다. 따라서, 평행 육면체의 높이가 h로 주어지면, 그 부피는 다음과 같을 것입니다.
V = || AxB || h.
다른 한편 AxB와 C 사이의 스칼라 생성을 고려하면 다음과 같이 설명 할 수 있습니다.
그러나, 삼각 함수에 의해 우리는 h = || C || cos (Θ)를 가지므로 다음과 같이해야합니다.
이 방법으로 우리는 다음을 수행해야합니다.
일반적으로 평행 육면체의 부피는 삼중 스칼라 곱의 절대 값으로 주어진다 AxB ∙ C.
해결 된 연습 문제
운동 1
주어진 점 P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) 및 S = (2,6,9),이 점들은 평행 육면체 그들은 PQ, PR 및 PS입니다. 상기 평행 육면체의 체적을 결정한다..
솔루션
우리가 취하면 :
- A = PQ = (-1, 6, 1)
- B = PR = (-4, 4, 2)
- C = PS = (-3, 2, 2)
트리플 스칼라 제품의 특성을 사용하여 다음을 수행해야합니다.
AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).
AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.
그러므로, 우리는 상기 평행 육면체의 체적이 52.
운동 2
포인트가 P, Q, R 및 S가 (1, 3, 4), (3, 5, 3) 인 경우, A = PQ, B = PR 및 C = PS로 주어진 모서리를 갖는 평행 육면체의 부피를 결정한다. (2, 1, 6) 및 (2, 2, 5) 각각.
솔루션
먼저 A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).
우리는 AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).
그런 다음 AxB ∙ C를 계산합니다.
AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.
따라서 우리는 상기 평행 육면체의 부피가 1 입방 단위.
참고 문헌
- Leithold, L. (1992). 분석적 기하학을 이용한 계산. HARLA, S.A.
- Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). 물리학 1 권. 멕시코 : 콘티넨탈.
- Saenz, J. (s.f.). 벡터 계산 1. 사색성.
- Spiegel, M. R. (2011). 벡터 분석. Mc Graw Hill.
- Zill, D. G., & Wright, W. (2011). 다양한 변수의 계산. Mc Graw Hill.