평행 육면체 특성, 유형, 면적, 부피

A 평행 육면체 6 개의면으로 구성된 기하학적 몸체로, 모든면이 평행 사변형이고 반대면이 서로 평행하다는 것이 주요 특징입니다. 신발 상자, 벽돌의 모양, 전자 레인지의 모양 등에서 찾을 수 있기 때문에 일상 생활에서 흔히 볼 수있는 다면체입니다..

다면체이기 때문에, 평행 육면체는 유한 체적을 둘러싸고 모든면은 평평합니다. 그것은 모든 정점들이 두 개의 평행 한 면들에 포함되어있는 다면체 들인 프리즘들의 그룹의 일부이다..

색인

• 1 평행 육면체의 요소
  • 1.1 얼굴
  • 1.2 가장자리
  • 1.3 버텍스
  • 1.4 대각선
  • 1.5 센터
• 2 평행 육면체의 특성
• 3 가지 유형
  • 3.1 대각선의 계산
• 4 지역
  • 4.1 정사면체의 면적
  • 4.2 큐브의 면적
  • 4.3 마 면체의 면적
  • 4.4 마름모꼴 지역
• 5 평행 육면체의 부피
  • 5.1 완벽한 평행 육면체
• 6 서지

평행 육면체의 요소들

얼굴들

그것들은 평행 육면체를 제한하는 평행 사변형에 의해 형성된 영역들 각각입니다. 평행 육면체에는 6 개의면이 있으며, 각면에는 4 개의 인접면과 반대면이 있습니다. 또한, 각면은 그 반대면과 평행하다.

가장자리

그들은 두 얼굴의 공통적 인면입니다. 전체에서 평행 육면체는 12 개의 모서리.

버텍스

서로 인접한 세 개의 얼굴이 공통점입니다. 평행 육면체에는 8 개의 정점이 있습니다..

대각선

평행 육면체의 두 개의 반대면이 주어지면 한면의 꼭지점에서 다른면의 정점으로가는 선분을 그릴 수 있습니다.

이 세그먼트는 평행 육면체의 대각선으로 알려져 있습니다. 각 평행 육면체에는 4 개의 대각선이 있습니다..

시내

모든 대각선이 교차하는 지점입니다..

평행 육면체의 특성

앞서 언급했듯이이 기하학 본문에는 12 개의 모서리, 6 개의면 및 8 개의 정점이 있습니다..

평행 육면체에서는 서로 평행 한 네 모서리로 구성된 세 세트를 식별 할 수 있습니다. 또한, 이들 세트의 에지는 또한 동일한 길이를 갖는 특성을 충족시킨다.

또 다른 속성은 우리 세그먼트 포인트의 쌍은 또한 평행 내에 것이라고 말했다 결정된 입방체 내부의 임의의 점에 속하는 소요될 경우, 즉 볼록 평행 육면체 들렸다.

또한, 그들은되는 평행 육면체 다면체는 헤드의 수, 모서리의 수와 꼭지점의 수 사이의 관계를 제공 다면체에 대한 오일러의 정리를 충족. 이 관계는 다음 방정식의 형태로 제공됩니다.

C + V = A + 2

이 기능은 오일러의 특성으로 알려져 있습니다..

여기서 C는면의 수, V는 정점의 수, A는 모서리의 수.

유형

우리는 다음과 같은 유형의 얼굴을 기반으로 평행 육면체를 분류 할 수 있습니다.

정형 외과

그들은 6 개의 직사각형에 의해 그들의 얼굴이 형성되는 평행 육면체입니다. 각 직사각형은 가장자리를 공유하는 사각형과 직각을 이룹니다. 그들은 신발 상자와 벽돌의 일반적인 방법으로 일상 생활에서 가장 일반적입니다..

큐브 또는 정육면체

이것은 이전 얼굴의 특별한 경우이며, 각 얼굴은 사각형입니다..

입방체는 또한 플라톤 고체라고 불리는 기하학 체의 일부입니다. 플라톤 솔리드는 볼록 다면체이므로면과 내부 각이 서로 동일합니다..

Romboedro

그것은 얼굴에 다이아몬드가있는 평행 육면체입니다. 이 다이아몬드들은 모두 가장자리를 공유하기 때문에 서로 동일합니다..

Romboiedro

그것의 여섯 얼굴은 마름모꼴입니다. 마름모꼴은 4면과 4면의 각도가 2와 2 인 다각형입니다. 마름모꼴 모양은 정사각형이나 직사각형, 마름모꼴이 아닌 평행 사변형입니다..

한편, 경 사진 평행 육면체는 적어도 하나의 높이가 가장자리와 일치하지 않는 것이다. 이 분류에서 우리는 rhombohedrons과 rhombichedrons을 포함 할 수 있습니다..

대각선 계산

정사면체의 대각선을 계산하기 위해 피타고라스 이론을 R에 사용할 수 있습니다.³.

정사면체는 각면이 모서리를 공유하는 측면과 직각을 이룬다는 특성을 가지고 있음을 상기하십시오. 이 사실로부터 우리는 각 모서리가 정점을 공유하는 것과 수직이라는 것을 추론 할 수있다..

정육면체의 대각선의 길이를 계산하기 위해 다음과 같이 진행합니다.

1. 우리는 얼굴 중 하나의 대각선을 계산합니다. 우리는 이것을 기초로 놓을 것입니다. 이를 위해 우리는 피타고라스의 정리를 사용합니다. 이름을이 대각선으로 d_b.

2. 그런 다음 d_b 상기 삼각형의 빗변이 대각선 D가되도록 새로운 직각 삼각형을 형성 할 수있다.

3. 우리는 다시 피타고라스 정리를 사용하며, 대각선의 길이는 다음과 같습니다.

대각선을보다 그래픽 방식으로 계산하는 또 다른 방법은 자유 벡터의 합.

2 개의 자유 벡터 A와 B는 벡터 A의 끝을 벡터 B의 꼬리에 놓음으로써 더해진다.

벡터 (A + B)는 A의 꼬리에서 시작하여 B의 끝에서 끝나는 벡터입니다.

우리가 대각선을 계산하고자하는 평행 육면체를 고려해보십시오..

편리하게 방향이 정해진 벡터로 에지를 식별합니다..

그런 다음이 벡터를 더하고 결과 벡터는 평행 육면체의 대각선이됩니다..

지역

평행 육면체의 면적은 각면의 면적의 합으로 주어진다..

측면 중 하나를 기준으로 결정하면,

A_L + 2A_B = 총 면적

어디에서 A_L 은 측부 영역 및 A 라 불리는베이스에 인접한 모든 측부의 면적의 합과 동일하다_B 기본 영역입니다..

우리가 작업하고있는 평행 육면체의 유형에 따라 우리는 상기 수식을 다시 쓸 수 있습니다..

정육면체의 면적

이것은 공식에 의해 주어진다.

A = 2 (ab + bc + ca).

예제 1

a = 6 cm, b = 8 cm, c = 10 cm 인 다음의 정육면체가 주어질 때, 평행 육면체의 면적과 그것의 대각선 길이를 계산하십시오.

정사면의 면적에 대한 공식을 사용하여 우리는

A = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm (6)².

그것은 orhehedron이기 때문에, 4 개의 대각선 중 어느 하나의 길이는 동일하다는 것에주의하십시오..

공간에 대한 피타고라스의 정리를 사용하여 우리는

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

큐브의 면적

각 모서리의 길이가 같기 때문에 a = b와 a = c를 갖습니다. 이전 수식으로 대체하면

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

예제 2

게임 콘솔의 상자는 입방체 모양입니다. 우리가이 상자를 선물 종이로 감싸고 싶다면 큐브 가장자리의 길이가 45cm임을 아는 데 얼마나 많은 종이를 쓸 것인가??

큐브 영역의 공식을 사용하면

A = 6 (45cm)² = 6 (2025 cm²= 12150 cm²

마 면체의 면적

모든 얼굴이 같기 때문에, 그 중 하나의 면적을 계산하고 6을 곱하면됩니다..

우리는 다이아몬드의 면적을 다음과 같은 대각선을 사용하여 계산할 수 있습니다.

A_R = (Dd) / 2

이 공식을 사용하면 능 면체의 총면적은 다음과 같습니다.

A_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

예제 3

다음 마 면체의면은 대각선이 D = 7cm 및 d = 4cm 인 마름모로 형성됩니다. 귀하의 지역은

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

마름모꼴 지역

마름모꼴의 영역을 계산하기 위해서는 그것을 구성하는 마름모꼴의 영역을 계산해야합니다. 평행 육면체는 반대면이 같은 면적을 갖는 특성을 따르기 때문에면을 세 쌍으로 연결할 수 있습니다.

이렇게하면 귀하의 지역이

A_T = 2b₁h₁ + 2b₂h₂ + 2b₃h₃

the b_나는 측면과 관련된 기지와_나는 상기베이스들에 대응하는 상대 높이.

예제 4

다음의 평행 사변형,

A면과 A '면 (반대편면)은 b = 10이고 높이는 h = 6입니다. 표시된 부분의 값은

A₁ = 2 (10) (6) = 120

B 및 B '는 b = 4 및 h = 6을 가지며,

A₂ = 2 (4) (6) = 48

그리고 C와 C '는 b = 10과 h = 5이므로

A₃ = 2 (10) (5) = 100

마침내 rhombohedron의 영역은 다음과 같습니다.

A = 120 + 48 + 100 = 268.

평행 육면체의 부피

우리에게 평행 육면체의 부피를 제공하는 공식은 그면 중 하나의 면적과 상기면에 대응하는 높이의 곱이다.

V = A_Ch_C

상기 수식은 단순화 될 수있는 평행 육면체의 유형에 따라.

그래서 우리는 예를 들어 정육면체의 부피가 다음과 같이 주어질 것입니다.

V = abc.

여기서 a, b 및 c는 정삼면의 길이를 나타낸다..

그리고 큐브의 특별한 경우에는

V = a³

예제 1

쿠키 상자에는 세 가지 모델이 있으며,이 모델 중 더 많은 쿠키를 저장할 수있는 모델, 즉 가장 큰 볼륨을 가진 상자.

첫 번째는 모서리의 길이가 a = 10cm 인 큐브입니다.

그것의 부피는 V = 1000 cm가 될 것이다.³

두 번째 가장자리는 b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm입니다.

따라서 볼륨은 V = 765 cm입니다.³

세 번째는 e = 9cm, f = 9cm, g = 13cm입니다.

그리고 그것의 부피는 V = 1053 cm이다.³

따라서 가장 큰 볼륨을 가진 상자는 세 번째 상자입니다..

평행 육면체의 부피를 얻는 또 다른 방법은 벡터 대수학에 의지하는 것입니다. 특히, 트리플 스칼라 곱.

트리플 스칼라 곱을 갖는 기하학적 해석 중 하나는 평행 육면체의 부피이며, 그 모서리는 시작점과 동일한 꼭지점을 공유하는 세 개의 벡터입니다.

이 방법으로 우리는 평행 육면체가 있고 그 볼륨이 무엇인지 알기를 원한다면 R의 좌표계로 표현하면 충분합니다³ 정점 중 하나를 원점과 일치시키는.

그런 다음 그림과 같이 원점에서 일치하는 모서리를 벡터로 나타냅니다..

그리고 이런 식으로 우리는 말한 평행 육면체의 부피는 다음과 같이 주어진다.

V = | AxB ∙ C |

또는 등가 적으로 부피는 3 × 3 행렬의 결정 요인이며, 에지 벡터의 구성 요소에 의해 형성됩니다.

예제 2

다음 평행 사변형을 R로 나타냄으로써³ 우리는 그것을 결정하는 벡터가 다음과 같다는 것을 알 수 있습니다.

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) 및 w = (-0.25, -4, 4)

트리플 스칼라 제품을 사용하면

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0, 0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0.25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

이것으로부터 우리는 V = 60

이제 R3에있는 다음과 같은 평행 사변형을 생각해 보겠습니다.

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) 및 C = (3, 4, 4)

행렬식을 사용하면

그래서 우리는 상기 평행 육면체의 부피가 112.

둘 다 볼륨을 계산하는 동일한 방법입니다.

완벽한 평행 육면체

정사면체에 대한 오일러의 벽돌 (또는 오일러 블록)으로 알려져 있습니다. 가장자리의 길이와 각면의 대각선 길이가 모두 정수인 성질을 충족시킵니다.

오일러가 그 속성을 충족시키는 정사면체를 연구 한 최초의 과학자는 아니었지만, 그는 그들에 대한 흥미로운 결과를 발견했습니다..

더 작은 오일러 벽돌은 Paul Halcke에 의해 발견되었고 가장자리의 길이는 a = 44, b = 117 및 c = 240입니다..

수 이론에서 열린 문제는 다음과 같습니다.

완벽한 정육면체가 있습니까??

현재이 질문은 대답 할 수 없다. 왜냐하면이 시체가 존재하지 않는다는 것을 증명할 수는 없기 때문에 어떤 것도 발견되지 않았기 때문이다..

지금까지 보여준 것은 완벽한 평행 육면체가 존재한다는 것입니다. 발견 된 첫 번째 요소의 가장자리 길이는 103, 106 및 271입니다..

서지

1. Guy, R. (1981). 수 이론에서 해결되지 않은 문제. 스프링거.
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3. Leithold, L. (1992). 분석적 기하학을 이용한 계산. HARLA, S.A.
4. Rendon, A. (2004). 기술 도면 : 워크 북 3 2 차 학사 학위 . Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). 물리학 1 권. 멕시코 : 콘티넨탈.