최소 제곱 법, 해결 된 운동 및 그 역할



방법 최소 제곱 함수의 근사에서 가장 중요한 응용 프로그램 중 하나입니다. 아이디어는 순서쌍의 집합이 주어지면이 함수가 데이터를 더 잘 근사하게하는 곡선을 찾는 것입니다. 함수는 선, 2 차 곡선, 3 차 곡선 등이 될 수 있습니다..

이 방법의 아이디어는 선택된 함수에 의해 생성 된 점과 데이터 집합에 속한 점 사이의 세로 좌표 (성분 Y)의 차이 제곱의 합을 최소화하는 것입니다.

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  • 1 최소 제곱 법
  • 2 연습 문제 해결
    • 2.1 운동 1
    • 2.2 운동 2
  • 3 무엇을위한 것인가??
  • 4 참고

최소 제곱 법

방법을 제시하기 전에 우리는 우선 "더 나은 접근법"이 무엇을 의미하는지 명확히해야합니다. (x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn)의 집합을 가장 잘 나타내는 라인 y = b + mx를 찾는다고 가정 해보자..

앞의 그림에서와 같이 변수 x와 y가 y = b + mx 행과 관련이 있다면 x = x1에 대해 y의 해당 값은 b + mx1이됩니다. 그러나이 값은 y의 실제 값과 다르며 y = y1입니다..

평면에서 두 점 사이의 거리는 다음 공식에 의해 주어진다는 것을 상기하십시오.

이를 염두에두고 주어진 데이터에 가장 근접한 선 y = b + mx를 선택하는 방법을 결정하려면 점 사이의 거리의 제곱의 합을 기준으로 최소화하는 선을 선택하는 것이 좋습니다 그리고 똑바로.

점 (x1, y1)과 (x1, b + mx1) 사이의 거리가 y1- (b + mx1)이기 때문에, 우리의 문제는 다음의 합이 최소가되도록 수 m과 b를 찾는 것으로 감소된다.

이 조건을 만족하는 선을 "점 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)에 대한 최소 제곱근 근사"라고합니다..

문제가 해결되면 최소 자승 근사를 찾는 방법을 선택하기 만하면됩니다. 점 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)이 모두 y = mx + b 행에 있다면 우리는 동일 선상에 있어야합니다.

이 표현식에서 :

마지막으로, 점들이 동일 선상에 있지 않으면, y-Au = 0이고 문제는 벡터를 찾거나 유클리드 표준이 최소가되도록 번역 될 수 있습니다.

최소화 벡터를 찾는 것이 생각만큼 어렵지 않습니다. A는 행렬 nx2이고 u는 2x1 행렬이기 때문에 벡터 Au는 벡터의 Rn 그것은 R의 부분 공간 인 A의 이미지에 속한다n 차원이 2보다 크지 않다..

우리는 어떤 절차를 따르는지를 보여주기 위해 n = 3으로 가정 할 것입니다. n = 3이면 A의 이미지는 원점을 통과하는 평면 또는 선이됩니다..

v를 최소화 벡터 라하자. 그림에서 우리는 y-Au가 A의 이미지와 직교 할 때 최소화된다는 것을 관찰한다. 즉, v가 최소화 벡터이면, 다음과 같이된다.

그런 다음 위와 같은 방법으로 표현할 수 있습니다.

이는 다음과 같은 경우에만 발생할 수 있습니다.

마지막으로 v를 지우려면 다음을 수행해야합니다.

이것은 A 이후 가능하다.~A는 데이터로서 주어진 n 개의 점이 동일 선상이 아닌 한 역전 가능하다..

이제 라인을 찾는 대신에 포물선을 찾으려고하면 (y = a + bx + cx 형식의 표현식이됩니다.)2)는 n 개의 데이터 포인트에 대해 더 나은 근사값 이었지만 절차는 아래에 설명 된 것과 같습니다.

n 개의 데이터 포인트가 포물선 안에 있다면 다음과 같이해야합니다.

다음 :

비슷한 방법으로 y = Au라고 쓸 수 있습니다. 모든 점이 포물선에 없다면 우리는 y-Au가 벡터 u에 대해 0과 다르다는 것과 우리의 문제가 다시 있음을 알았습니다 : R3의 벡터 u를 찾아 표준 || y-Au || 가능한 한 작다..

이전 절차를 반복하면 검색 할 벡터에 도달 할 수 있습니다.

해결 된 연습 문제

운동 1

점 (1,4), (-2,5), (3, -1) 및 (4,1)에 가장 잘 맞는 선을 찾으십시오..

솔루션

우리는 :

다음 :

그러므로 우리는 점에 가장 잘 맞는 선은 다음과 같이 주어진다고 결론을 내립니다.

운동 2

물체가 200m 높이에서 떨어진다고 가정하십시오. 떨어지는 동안 다음과 같은 조치가 취해집니다.

우리는 시간 t를 지난 후에 상기 물체의 높이가 다음과 같이 주어진다는 것을 압니다.

g의 값을 얻으 려한다면 표에서 주어진 5 개의 점에 대한 더 좋은 근사치 인 포물선을 찾을 수 있습니다. 따라서 우리는 t에 수반되는 계수를 갖게됩니다2 측정 값이 정확하다면 (-1/2) g에 대한 합리적인 근사값이됩니다..

우리는 :

그리고 나서 :

따라서 데이터 포인트는 다음과 같은 2 차 표현식에 의해 조정됩니다.

그런 다음해야 할 일 :

이것은 합당한 값인 g = 9.81 m / s 인 값입니다2. g의보다 정확한 근사를 얻기 위해서는 더 정확한 관측으로부터 시작하는 것이 필요하다..

그것을 위해 무엇입니까??

자연 과학이나 사회 과학에서 발생하는 문제들에서 몇 가지 수학적 표현을 통해 다른 변수들 사이에 발생하는 관계를 쓰는 것이 편리하다..

예를 들어, 경제에서 비용 (C), 소득 (I) 및 이익 (U)을 간단한 공식을 통해 연관시킬 수 있습니다.

물리학에서 우리는 중력에 의한 가속도, 물체가 떨어지는 시간 및 물체의 높이를 법칙과 관련시킬 수 있습니다.

앞의 식에서 so 그 객체의 초기 높이이고 vo 당신의 초기 속도입니다..

그러나 이러한 공식을 찾는 것은 간단한 작업이 아닙니다. 일반적으로 많은 데이터로 작업하고 반복적으로 몇 가지 실험을 수행하여 (결과가 일정하다는 것을 확인하기 위해) 다른 데이터 간의 관계를 찾는 것은 전문가의 몫입니다.

이를 달성하기위한 일반적인 방법은 평면에서 얻어진 데이터를 점으로 표현하고 이러한 점에 최적으로 접근하는 연속 함수를 찾는 것입니다.

주어진 데이터를 "가장 근사하는"함수를 찾는 방법 중 하나는 최소 자승법입니다.

또한 운동에서도 보았 듯이이 방법 덕분에 물리적 상수에 매우 가까운 근사를 얻을 수 있습니다.

참고 문헌

  1. Charles W Curtis 선형 대수학. 스프링거 - 벨 가르
  2. 정 라이 라이 확률 과정을 이용한 초등 수학적 확률론. Springer - Verlag 뉴욕 Inc
  3. Richar L Burden & J. Douglas Faires. 수치 해석 (7ed). 톰슨 학습.
  4. 스탠리 I. 그로스 먼. 선형 대수학의 응용. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
  5. 스탠리 I. 그로스 먼. 선형 대수학 MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO