선형 보간법, 풀린 연습

그 선형 보간법 는 뉴턴의 일반적인 보간법에서 유래하는 방법으로 두 개의 주어진 수 사이에있는 미지의 값을 근사법으로 결정할 수 있습니다. 즉, 중간 값이 있습니다. 근사 함수에도 적용됩니다. f_(a) 및 f_(b) 그들은 알려져 있고 f의 중간을 알고 싶다._(x).

선형, 2 차, 3 차 및 그레이드와 같은 다양한 보간 유형이 있으며, 가장 간단한 것은 선형 근사입니다. 선형 보간법을 사용하여 지불해야하는 가격은 결과가 더 높은 등급의 함수에 의한 근사값만큼 정확하지 않다는 것입니다.

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• 1 정의
• 2 방법
• 3 연습 문제 해결
  • 3.1 운동 1
  • 3.2 운동 2
• 4 참고

정의

선형 보간은 표 또는 선형 그래프에있을 수있는 잘 정의 된 두 값 사이의 값을 추론 할 수있게 해주는 프로세스입니다.

예를 들어, 우유 3 리터가 4 달러, 우유 5 리터가 7 달러 인 것을 알고 우유 4 리터의 값이 무엇인지 알고 싶다면 보간하여 중간 값을 결정하십시오.

방법

함수의 중간 값을 추정하기 위해 함수 f를 근사화한다._(x) 직선 r_(x), 이것은 함수가 "x = a"와 "x = b"의 스트레치에 대해 "x"와 선형 적으로 변화 함을 의미합니다. 즉, 간격의 "x"값 (x₀, x₁) 및 (및₀, 및₁), "y"의 값은 점 사이의 선에 의해 주어지며 다음 관계식으로 표현됩니다.

(및 -₀) ÷ (x - x₀) = (및₁ - 및₀) ÷ (x₁ - x₀)

선형 보간의 경우, 보간 다항식이 차수 1 (n = 1) 일 필요가 있으므로 x의 값으로 조정됩니다₀ 및 x_1.

선형 보간은 삼각형의 유사성을 기반으로하기 때문에 이전 표현식에서 기하학적으로 도출하여 "x"에 대한 알 수없는 값을 나타내는 "y"값을 얻을 수 있습니다..

그렇게하면 다음을 수행해야합니다.

a = tan Ɵ = (반대편₁ ÷ 인접 다리₁) = (반대편₂ ÷ 인접 다리₂)

다른 방법으로 표현하면 다음과 같습니다.

(및 -₀) ÷ (x - x₀) = (및₁ - 및₀) ÷ (x₁ - x₀)

표현의 "및"을 지우면 다음을 얻게됩니다.

(및 -₀) _* (x₁ - x₀) = (x - x₀) _* (그리고₁ - 및₀)

(및 -₀) = (및₁ - 및₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

따라서 선형 보간에 대한 일반 방정식을 얻습니다.

y = y_{0 +} (그리고₁ - 및₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

일반적으로 직선 보간은 실제 함수의 실제 값보다 작은 오차를 제공하지만 직관적으로 원하는 값에 가까운 값을 선택하는 경우와 비교하면 오류가 최소화됩니다.

직선으로 커브 값을 근사하려고하면이 오류가 발생합니다. 이러한 경우에는 근사를보다 정확하게하기 위해 간격의 크기를 줄여야합니다..

접근법과 관련하여 더 나은 결과를 얻으려면 보간을 수행하는 데 2, 3 또는 그 이상의 고급 기능을 사용하는 것이 좋습니다. 이 경우 Taylor 정리는 매우 유용한 도구입니다.

해결 된 연습 문제

운동 1

x 시간 후 배양에서 존재하는 단위 부피당 박테리아의 수는 다음 표에 나와 있습니다. 당신은 3.5 시간 동안 박테리아의 양을 알고 싶습니다..

솔루션

참고 표는 3.5 시간 동안 박테리아의 양을 나타내는 값을 설정하지는 않지만, 각각 3 시간 및 4 시간에 상응하는 값이 더 높거나 낮습니다. 그런 식으로 :

x₀ = 3 및₀ = 91

x = 3.5 y =?

x₁ = 4 및₁ = 135

이제 수학 공식이 적용되어 다음과 같은 보간 값을 찾습니다.

y = y_{0 +} (그리고₁ - 및₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)].

그런 다음 해당 값이 대체됩니다.

y = 91 + (135 - 91) _* [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)_* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 _* 0.5

y = 113.

따라서, 3.5 시간의 시간 동안, 박테리아의 양은 113 시간이며, 이는 3 시간 및 4 시간의 시간 내에 존재하는 박테리아의 양 사이의 중간 수준을 나타낸다.

운동 2

Luis는 아이스크림 공장을 운영하고 있으며 8 월에 지출 한 비용을 계산하기 위해 학업을하고 싶습니다. 회사 관리자는 관계를 표현하는 그래프를 작성하지만 Luis는 다음을 알고 싶어합니다.

5 만 5 천 달러의 비용이 들었다면 8 월 수입은 얼마입니까??

솔루션

소득과 지출의 값을 그래프로 표시합니다. Luis는 공장에 5 만 5 천 달러의 비용이 든다면 8 월 수입이 무엇인지 알고 싶어합니다. 이 값은 그래프에 직접 반영되지 않지만이 값보다 높거나 낮은 값은.

먼저 값을 쉽게 관련시킬 수있는 테이블이 만들어집니다.

이제 보간 수식을 사용하여 y의 값을 결정합니다.

y = y_{0 +} (그리고₁ - 및₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

그런 다음 해당 값이 대체됩니다.

y = 56,000 + (78,000 - 56,000) _* [(55,000 - 45,000) ÷ (62,000 - 45,000)]

y = 56,000 + (22,000) _* [(10,000) ÷ (17,000)]

y = 56,000 + (22,000) _* (0,588)

y = 56,000 + 12,936

y = $ 68,936.

8 월에 5 만 5 천 달러의 경비가 들었다면 수입은 68,936 달러.

참고 문헌

1. Arthur Goodman, L.H. (1996). 대수학 및 삼각 함수 분석 기하학. 피어슨 교육.
2. Harpe, P. d. (2000). 기하학적 그룹 이론의 주제 시카고 대학 출판부.
3. Hazewinkel, M. (2001). 선형 보간법 ", 수학 백과 사전.
4. , J. M. (1998). 엔지니어링을위한 수치 적 방법의 요소. UASLP.
5. , E. (2002). 보간의 연대기 : 고대 천문학에서부터 현대의 신호 및 이미지 처리에 이르기까지. IEEE 논문집.
6. 숫자, I. a. (2006). 자비에르 토마, 조르디 쿠아 드로스, 루시니오 곤살레스.