부분 분수 경우 및 예

그 부분 분수 그것들은 다항식에 의해 형성된 분수이며, 여기서 분모는 선형 또는 이차 다항식 일 수 있고, 또한 어떤 힘으로 끌어 올 수 있습니다. 때로는 합리적인 함수가있을 때이 함수를 부분 분수 또는 단순 분수의 합으로 다시 쓰는 것이 매우 유용합니다.

이런 식으로 우리가 더 나은 이러한 기능을 조작 할 수 있기 때문에 특히이 응용 프로그램을 통합 할 필요가 경우입니다. 합리적인 함수는 단순히 두 다항식 간의 지수이며, 적절하거나 부적절 할 수 있습니다.

분자의 다항식의 차수가 분모보다 작 으면 그 자체의 합리적인 함수라고 부릅니다. 그렇지 않으면 부적절한 합리적인 함수로 알려져 있습니다..

색인

1 정의
케이스 2 개
- 2.1 사례 1
- 2.2 사례 2
- 2.3 사례 3
- 2.4 사례 4
3 신청
- 3.1 종합 계산
- 3.2 대중 행동 법칙
- 3.3 미분 방정식 : 물류 방정식
4 참고

정의

우리가 부적절한 유리 함수가있는 경우, 우리는 분모 다항식 다항식 분자를 분할하여 (x)는 t로 분할 알고리즘은 다음 (X) / Q 소수 P를 다시 작성할 수 (X) + S (X) / 여기서, t (x)는 다항식이고, s (x) / q (x)는 그 자체의 합리적인 함수이다.

부분 분수는 다항식의 적절한 함수이고, 분모의 형태는 (ax + b)ⁿ 오 (도끼²+ bx + c)ⁿ, 다항식 ax² + bx + c는 실제 근을 갖지 않으며 n은 자연수이다..

분수 부분에서 유리 함수를 다시하기 위해에서는 우선, 계수의 선형 및 / 또는 차의 곱으로서 분모 Q (X)를 반영한다. 일단 이것이 완료되면, 상기 요소의 성질에 의존하는 부분 분율이 결정된다.

사례

여러 사례를 별도로 고려합니다..

사례 1

q (x)의 요소는 모두 선형이며 아무 것도 반복되지 않습니다. 즉 :

q (x) = (a₁x + b₁) (a₂x + b₂) ... (a_초x + b_초)

선형 인자는 다른 인자와 동일하지 않습니다. 이 경우 우리는 다음과 같이 쓸 것입니다 :

p (x) / q (x) = A₁/ (a₁x + b₁) + A₂/ (a₂x + b₂) ... + A_초/ (a_초x + b_초).

어디에서 A₁,A₂,..., A_초 찾을 상수입니다..

예제

우리는 합리적인 함수를 간단한 분수로 분해하고자합니다 :

(x-1) / (x³+3 배²+2x)

우리는 분모를 인수 분해하기 시작합니다 :

x³ + 3 배² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

(x-1) / (x³+3 배²+2x) = (x-1) / x (x + 1) (x + 2)

(x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

최소 공통 배수를 적용하면 다음을 얻을 수 있습니다.

x + 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

우리는 용어의 각을 취소 뿌리를 대체하여 찾을 수있는 정수 A, B 및 C의 값을 얻을합니다. x에 대해 0을 대입하면 다음과 같습니다.

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

우리가 가지고있는 x에 대해 -1을 대입하면 :

- 1 - 1 = A (-1 + 1) (-1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1).

- 2 = - B

B = 2.

우리가 가지고있는 x에 대해 2를 대입하면 :

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1).

-3 = 2C

C = -3 / 2.

이러한 방식으로, 값 A = -1/2, B = 2 및 C = -3/2가 얻어진다..

식 (X)의 오른쪽에있는 A, B 및 C의 경우의 값을 얻을 수있는 또 다른 방법이 - (1) = A (X + 1) (X + 2) + B (X + 2) + C X가 (X + 1) x 우리는 용어를 결합하여, 우리는 :

x - 1 = (A + B + C) x² + (3A + 2B + C) × + 2A.

이 다항식의 평등이기 때문에, 왼쪽 우리 계수 오른쪽으로 같아야한다. 결과는 다음 방정식 시스템이됩니다.

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = -1

이 방정식 시스템을 풀 때 A = -1/2, B = 2 및 C = -3/2의 결과를 얻습니다..

마지막으로 얻은 값을 바꾸려면 다음을 수행해야합니다.

(X - 1) / (X) (X + 1) (X + 2) = - 1 / (2 ×) + 2 / (X + 1) - (3) / (2 (X + 2)).

사례 2

q (x)의 요소는 모두 선형이며 일부는 반복됩니다. (ax + b)가 "s"번 반복되는 요소라고 가정하십시오. 이 인자에 대한 "s"부분 분수의 합.

A_초/ (ax + b)^초 + A_s-1/ (ax + b)^s-1 +... + A₁/ (ax + b).

어디서 A_초,A_s-1,..., A₁ 그것들은 결정되어야 할 상수이다. 다음 예제를 통해 이러한 상수를 결정하는 방법을 보여줍니다..

예제

부분 분율로 분해 :

(x-1) / (x²(x-2)³)

우리는 다음과 같이 합리적 함수를 부분 분수의 합으로 씁니다.

(x-1) / (x²(x-2)³) = A / x² + B / x + C / (x-2)³ + D / (x-2)² + E / (x-2).

x - 1 = A (x - 2)³ + B (x-2)³x + Cx² + D (x-2) x² + E (x-2)²x²

x에 대해 2를 대입하면 다음을 수행해야합니다.

7 = 4C, 즉 C = 7 / 4.

x에 대해 0을 대입하면 다음과 같습니다.

- 1 = -8A 또는 A = 1/8.

이전 방정식에서 이러한 값을 대입하고 개발하면 다음을 수행해야합니다.

x - 1 = 1 / 8 (x³ - 6 배² + 12x-8) + Bx (x³ - 6 배² + 12x - 8) + 7 / 4x² +Dx³ - 2Dx² + 예²(x² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x³ + (- ¾ + 12B + 7 / 4 - 2D + 4E) x² +(3/2 - 8B) x - 1.

계수를 일치시킴으로써 다음 방정식 시스템을 얻습니다.

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7 / 4 + 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

시스템 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 작업을 수행했습니다.

B = 3/16; D = 5 / 4; E = -3/16.

이 때문에 우리는 :

(x-1) / (x²(x-2)³) = (1/8) / x² + (3/16) / x + (7/4) / (x-2)³ + (5/4) / (x-2)² - (3/16) / (x-2).

사례 3

q (x)의 인자는 2 차 인자가 반복되지 않은 2 차 선형이다. 이 경우, 이차 인자 (ax² + bx + c)는 부분 분율 (Ax + B) / (ax)에 해당한다.² + bx + c), 여기서 상수 A와 B는 여러분이 결정하기를 원하는 것입니다.

다음 예는이 경우 진행하는 방법을 보여줍니다.

예제

간단한 분수로 분해 a (x + 1) / (x³ - 1).

먼저 우리는 분모를 분석하여 결과를 얻습니다.

(x-1) = (x-1) (x + x + 1).

우리는 (x² + x + 1)은 환원 할 수없는 2 차 다항식입니다. 즉, 그것은 진짜 뿌리를 가지고 있지 않습니다. 부분 분율로의 분해는 다음과 같습니다 :

(x + 1) / (x-1) (x² + x + 1) = A / (x-1) + (Bx + C) / (x² + x +1)

이것으로부터 다음 방정식을 얻습니다.

x + 1 = (A + B) x² +(A - B + C) x + (A - C)

다항식의 등가성을 사용하여 다음 시스템을 얻습니다.

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

이 시스템으로부터 우리는 A = 2/3, B = - 2/3 및 C = 1/3을 갖는다. 우리가해야 할 일은 다음과 같습니다.

(x + 1) / (x-1) (x² + x + 1) = 2 / 3 (x-1) - (2x + 1) / 3 (x² + x +1).

사례 4

마지막으로, 사례 4는 q (x)의 인자가 선형 및 2 차 함수이고, 선형 2 차 인자의 일부가 반복되는 경우이다.

이 경우, 예 (ax² + bx + c)는 "s"번 반복되는 2 차 인자이고, 인자 (ax)에 해당하는 부분 분수는² + bx + c)는 다음과 같습니다.

(A₁x + B) / (ax² + bx + c) + ... + (A_s-1x + B_s-1) / (도끼)² + bx + c)^s-1 + (A_초x + B_초) / (도끼)² + bx + c)^초

어디서 A_초, A_s-1,..., A 및 B_초, B_s-1,..., B는 결정하고자하는 상수입니다..

예제

우리는 다음과 같은 이성적인 함수를 부분 분수로 나누고 싶다.

(x-2) / (x (x² - 4x + 5)²)

x처럼² - 4x + 5는 환원 불가능한 2 차 요인이며, 부분 분수로의 분해는 다음과 같이 주어진다.

(x-2) / (x (x² - 4x + 5)²) = A / x + (Bx + C) / (x² - 4x + 5) + (Dx + E) / (x² - 4x + 5)²

간소화 및 개발, 우리는 :

x - 2 = A (x²- 4x + 5)² + (Bx + C) (x² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x⁴ + (- 8A - 4B + C) x³ + (26A + 5B - 4C + D) ×² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

위의 식에서 우리는 다음 방정식 시스템을 가지고 있습니다.

A + B = 0;

- 8A-4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

시스템을 해결할 때 다음을 수행해야합니다.

A = -2/25, B = 2/25, C = -8 / 25, D = 2 / 5 및 E = 3 / 5.

얻은 값을 바꿀 때 우리는 :

(x-2) / (x (x² - 4x + 5)²) = -2 / 25x + (2x-8) / 25 (x² - 4x + 5) + (2x-3) / 5 (x² - 4x + 5)²

응용 프로그램

포괄적 인 계산

부분 분수는 주로 통합 미적분학의 연구에 사용됩니다. 아래에서는 부분 분수를 사용하여 적분을 만드는 방법에 대한 몇 가지 예를 살펴 보겠습니다..

예제 1

우리는 다음의 적분을 계산하려고합니다.

분모 q (x) = (t + 2)²(t + 1)은 이러한 반복 중 하나가 선형 요인으로 구성됩니다. 이것 때문에 우리는 2.

우리는 :

1 / (t + 2)²(t + 1) = A / (t + 2)² +B / (t + 2) + C / (t + 1)

우리는 방정식을 다시 쓰고 우리는 :

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)²

t = -1이면 다음을 수행해야합니다.

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

t = -2이면, 그것은 우리에게 다음을 준다.

1 = A (-1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = -1

그런 다음 t = 0 인 경우 :

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

A와 C의 값을 대입하면 :

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = -2

위에서 우리는 B = - 1.

적분을 다음과 같이 다시 씁니다.

우리는 치환 방법으로 그것을 풀어 냄 :

결과는 다음과 같습니다.

예제 2

다음 적분을 풀어 라.

이 경우 우리는 다음과 같은 요인을 고려할 수 있습니다. q (x) = x² - 4를 q (x) = (x - 2) (x + 2)로 정의한다. 분명히 우리는 1에 해당합니다. 따라서 :

(x + 2) = A / (x-2) + B / (x + 2)

또한 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

x = -2이면 다음과 같습니다.

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

그리고 x = 2 인 경우 :

8 = A (4) + B (0)

A = 2

따라서, 우리는 주어진 integral을 풀어야 만합니다.

결과적으로 다음과 같이 나타납니다.

예제 3

적분을 해결하십시오 :

우리는 q (x) = 9x⁴ + x² , 우리가 q (x) = x²(9 배² + 1).

이 경우에 우리는 반복적 인 선형 인자와 2 차 인자를 갖는다; 즉, 우리는 3.

우리는 :

1 / x²(9 배² + 1) = A / x² + B / x + (Cx + D) / (9x² + 1)

1 = A (9x² + 1) + Bx (9x² + 1) + Cx² + Dx²

다항식의 동등성을 그룹화하고 사용하면 다음과 같습니다.

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

이 방정식 시스템으로부터 우리는 다음을 만족해야합니다.

D = -9, C = 0

이 방법으로, 우리는 :

위의 문제를 해결하면 다음과 같은 이점이 있습니다.

대량 행동 법칙

완전한 미적분에 적용된 부분 분수의 흥미로운 적용은 화학에서, 더 정확하게는 질량 작용의 법칙에서 발견된다..

시간에 대한 C 량의 유도체가 임의의 주어진 시간에 (A), (B)의 양의 곱에 비례하기 때문에, 우리는, 접합 및 물질 C를 형성하는 두 개의 성분 A 및 B를 가지고 있다고 가정.

우리는 대량 행동의 법칙을 다음과 같이 표현할 수있다.

이 식에서, α는 A에 대응하는 그램의 초기 양이고 β는 B에 대응하는 그램의 초기 양이다.

또한, R 및 S 한편 C.의 R의 + S g을 형성하도록 결합을 각각 A 및 B의 그램 수를 나타내고, X는 시간 t시 물질 (C)의 그램 수를 나타내고, K는 인 비례 상수 위의 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

다음과 같이 변경하십시오.

방정식은 다음과 같이됩니다.

이 식에서 우리는 다음을 얻을 수 있습니다.

예 a ≠ b 인 경우 부분 분수를 통합에 사용할 수 있습니다..

예제

질량 법칙이 충족되도록 A 및 B의 값이 각각 8, 6 곳, 예를 B로 물질 A를 조합으로부터 발생 물질은 C를 가지고. 우리에게 시간의 함수로서 C의 그램 값을주는 방정식을줍니다..

주어진 질량 법칙의 값을 대입하면 다음과 같습니다.

변수를 분리 할 때 우리는 :

여기에 1 / (8 - X) (6 - X)은 아래와 같이, 일부 분획의 합으로서 쓸 수있다 :

따라서, 1 = A (6-x) + B (8-x)

x를 6으로 대체하면 B = 1 / 2입니다. x를 8로 대입하면 A = - 1/2.

부분 분수로 통합하기 :

결과적으로 다음과 같이 나타납니다.

미분 방정식 : 물류 방정식

부분 분수에 부여 할 수있는 또 다른 응용 프로그램은 물류 미분 방정식입니다. 간단한 모형에서 우리는 인구의 성장률이 그 크기에 비례한다는 것을 알았습니다. 즉 :

이 경우는 이상적이며,이 시스템에서 사용할 수있는 자원이 인구를 유지하기에 불충분 것을 일어날 때까지 현실로 간주됩니다.

이러한 상황에서는, 우리는 L를 호출, 시스템이 보유 할 수있는 최대 용량이 있다고 생각하는 것이 합리적이며, 증가율은 사용할 수있는 크기를 곱한 인구 규모에 비례한다. 이 인수는 다음 미분 방정식으로 이어진다.

이 표현을 물류 미분 방정식이라고합니다. 그것은 부분 분절에 의한 적분 방법으로 해결할 수있는 분리 가능한 미분 방정식입니다.

예제

일례는 다음의 로지스틱 미분 방정식 Y '= 0.0004y 따른 자랍니다 인구 간주된다 (1000 - Y), 초기 데이터 본다 t는 측정 시간 t = 2에서, 모집단의 크기를 알고 싶은 400 인 몇 년 후에.

우리가 라이프니츠 표기법을 사용하여 't'에 의존하는 함수로 쓰면, 우리는 :

왼쪽 부분의 적분은 부분 분수로 적분하는 방법을 사용하여 해결할 수 있습니다.

이 마지막 평등은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

- y = 0을 대입하면 A는 1/1000이됩니다..

- y = 1000을 대입하면 B는 1/1000이됩니다..

이 값을 사용하면 적분 값은 다음과 같이됩니다.

해결책은 다음과 같습니다.

초기 데이터 사용 :

개간하면 우리는 떠났습니다 :

그렇다면 우리는 t = 2에서 그것을 가지고 있습니다 :

결론적으로 2 년 후 인구 규모는 약 597.37.

참고 문헌

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Cortez, I., & Sanchez, C. (s.f.). 801 분해능. 국립 실험 대학교 타치라 대학교.
Leithold, L. (1992). 분석적 기하학을 이용한 계산. HARLA, S.A.
Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). 계산. 멕시코 : 피어슨 교육.
Saenz, J. (s.f.). 종합 미적분학. 사색성.

수학

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