몫:
차분을 사용하여 근사값 계산
수학의 근사값은 정확한 값이 아니지만 그 값에 가깝기 때문에 정확한 값만큼 유용하다고 간주되는 숫자입니다.
근사치가 수학에서 만들어지면, 수동으로 원하는 것의 정확한 값을 알기가 어렵거나 때로는 불가능하기 때문입니다.
근사치로 작업 할 때의 주요 도구는 함수의 미분입니다..
Δf (x)로 표시되는 함수 f의 미분은 독립 변수의 변화에 곱한 함수 f의 미분 값, 즉 Δf (x) = f '(x) * Δx.
때로는 Δf와 Δx 대신에 df와 dx가 사용됩니다.
차동 장치를 사용하는 접근 방식
미분을 통해 근사값을 구하는 데 적용되는 수식은 함수의 미분의 정의로부터 발생합니다.
이 공식은 다음에 의해 제공됩니다.
f (x0) * f (x0) * f (x0) + f '(x0) * Δx.
여기서, Δx = x-x0이므로, x = x0 + Δx로 이해된다. 이 공식을 사용하면 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
f (x0 + Δx) ≒ f (x0) + f '(x0) * Δx.
"x0"은 임의의 값이 아니라 f (x0)가 쉽게 알 수있는 값이라는 점에 유의해야합니다. 또한, "f (x)"는 우리가 대략적으로 구하고자하는 값입니다.
좋은 근사치가 있습니까??
대답은 '예'입니다. 이전의 것은 "선형 근사 (linear approximation)"라고 불리는 가장 간단한 근사법입니다..
더 나은 품질의 근사화 (오차는 더 작음)를 위해 "Taylor polynomials"라고 불리는 더 많은 파생어가있는 다항식과 Newton-Raphson 방법과 같은 다른 수치 적 방법이 사용됩니다..
전략
따라야 할 전략은 다음과 같습니다.
- 근사값을 수행하기위한 적절한 함수 f를 선택하고 근사값으로 f (x)가되도록 "x"값을 선택하십시오.
- f (x0)를 계산하기 쉽도록 "x"에 가까운 "x0"값을 선택하십시오..
- Δx = x-x0를 계산하십시오..
- 함수의 미분을 계산하고 f '(x0).
- 수식의 데이터 바꾸기.
해결 된 근사 연습
계속되는 부분에는 차동을 사용하여 근사가 이루어지는 일련의 연습이 있습니다..
첫 번째 운동
약 √3.
솔루션
전략에 따라 적절한 기능을 선택해야합니다. 이 경우 선택할 함수는 f (x) = √x이고 근사값은 f (3) = √3이어야 함을 알 수 있습니다..
이제 f (x0)가 계산하기 쉽도록 "3"에 가까운 "x0"값을 선택해야합니다. "x0 = 2"를 선택하면 "x0"은 "3"에 가깝지만 f (x0) = f (2) = √2는 계산하기 쉽지 않습니다.
편리한 "x0"의 값은 "4"가 "3"에 가깝고 f (x0) = f (4) = √4 = 2이기 때문에 "4".
"x = 3"및 "x0 = 4"인 경우 Δx = 3-4 = -1입니다. 이제 f의 미분을 계산합니다. 즉, f '(x) = 1 / 2 * √x이므로, f'(4) = 1 / 2√4 = 1 / 2 * 2 =.
수식의 모든 값을 다음과 같이 대체하십시오.
√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.
계산기를 사용하면 √3 ≒ 1.73205 ...가됩니다. 이는 이전 결과가 실제 값의 좋은 근사값임을 나타냅니다..
두 번째 운동
약 √10.
솔루션
이전과 같이 함수 f (x) = √x로 선택되며이 경우 x = 10입니다..
이 기회에서 선택해야하는 x0의 값은 "x0 = 9"입니다. 그런 다음 Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3, f '(9) = 1 / 2√9 = 1 / 2 * 3 = 1/6.
수식에서 평가할 때 당신은 그것을 얻습니다.
√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...
계산기를 사용하면 √10 ≈ 3.1622776을 얻을 수 있습니다. 여기에서 이전에 좋은 근사값을 얻었음을 알 수 있습니다.
세 번째 운동
대략 ³√10, 여기서 √√은 입방 루트를 나타냅니다..
솔루션
분명히이 실습에서 사용해야하는 함수는 f (x) = ³√x이고 "x"의 값은 "10"이어야합니다..
큐브 루트가 알려져있는 "10"에 가까운 값은 "x0 = 8"입니다. 그러면 Δx = 10-8 = 2이고 f (x0) = f (8) = 2가됩니다. f '(x) = 1/3 * ³√x²이므로 결과적으로 f'(8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * √√64 = 1/3 * 4 = 1/12.
공식에서 데이터를 대체하면 다음과 같은 결과가 얻어집니다.
√√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ... .
계산기는 "√10 ≈ 2.15443469 ..."라고 말합니다. 따라서 근사값은 양호합니다.
넷째 운동
Approxime ln (1.3). 여기서 "ln"은 자연 대수 함수를 나타냅니다..
솔루션
먼저 함수 f (x) = ln (x)가 선택되고 "x"의 값은 1.3입니다. 이제 대수 함수에 대해 조금 알면 ln (1) = 0이고 "1"은 "1.3"에 가깝다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 "x0 = 1"이 선택되므로 Δx = 1.3-1 = 0.3이됩니다..
반면 f '(x) = 1 / x이므로 f'(1) = 1이됩니다. 주어진 수식에서 평가할 때 :
ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.
계산기를 사용할 때 ln (1.3) ≈ 0.262364 ... 근사값이 좋다..
참고 문헌
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