몫:
기술 계산 기술, 응용 프로그램 및 예제
그 계산 기술 세트 또는 여러 세트의 오브젝트 내에서 가능한 배열 수를 세는 일련의 확률 메소드입니다. 이것은 많은 수의 객체 및 / 또는 변수로 인해 계정이 수동으로 복잡 해지는 경우에 사용됩니다.
예를 들어,이 문제에 대한 해결책은 매우 간단합니다. 귀하의 상사가 지난 1 시간 이내에 도착한 마지막 제품을 계산하도록 요청한다고 상상해보십시오. 이 경우 제품을 하나씩 세고 계산할 수 있습니다..
그러나 문제는 상상입니다. 귀하의 상사는 지난 시간에 도착한 사람들과 동일한 유형의 5 개 제품 그룹을 몇 개 만들 것인지를 묻습니다. 이 경우 계산이 복잡해집니다. 이러한 유형의 상황에 소위 카운팅 기술이 사용됩니다.
이러한 기술은 여러 가지이지만 가장 중요한 것은 곱셈과 덧셈이라는 두 가지 기본 원칙으로 나뉩니다. 순열 및 조합.
색인
- 1 승법 원리
- 1.1 응용 프로그램
- 1.2 예제
- 2 첨가제 원리
- 2.1 응용 프로그램
- 2.2 예제
- 3 순열
- 3.1 응용 프로그램
- 3.2 예제
- 4 가지 조합
- 4.1 응용 프로그램
- 4.2 예제
- 5 참고
Multiplicative 원리
응용 프로그램
곱셈의 원칙은 첨가제와 함께 계산 기술의 작동을 이해하는 기초입니다. 곱셈의 경우 다음과 같이 구성됩니다.
Nr 폼의 첫 번째 단계, N2의 두 번째 단계 및 Nr 폼의 단계 "r"이 가능한 특정 수의 단계 (전체가 "r"로 표시됨)와 관련된 활동을 상상해보십시오. 이 경우 활동은이 작업으로 인한 양식 수에서 수행 할 수 있습니다. N1 x N2 x ... x Nr forms
이것이이 원리가 곱셈이라고 불리는 이유이며, 활동을 수행하는 데 필요한 모든 단계가 차례로 수행되어야 함을 의미합니다.
예제
학교를 세우려는 사람을 상상해 봅시다. 이를 위해 건물의 바닥은 시멘트 또는 콘크리트의 두 가지 방법으로 건축 될 수 있다고 생각하십시오. 벽은 어도비, 시멘트 또는 벽돌로 만들 수 있습니다..
지붕은 시멘트 또는 아연도 강판으로 만들 수 있습니다. 마지막으로, 최종 그림은 한 방향으로 만 수행 할 수 있습니다. 발생하는 질문은 다음과 같습니다. 학교는 몇 가지 방법으로 구축해야합니까??
먼저, 기초, 벽, 지붕 및 그림이 될 계단의 수를 고려합니다. 총 4 단계, 그래서 r = 4.
다음은 N을 나열하는 것입니다.
N1 = 기지 건설 방법 = 2
N2 = 벽을 만드는 방법 = 3
N3 = 지붕을 만드는 방법 = 2
N4 = 페인트를 만드는 방법 = 1
따라서 가능한 양식의 수는 위에서 설명한 수식에 의해 계산됩니다.
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 학교를 완성하는 12 가지 방법.
첨가제 원리
응용 프로그램
이 원칙은 매우 간단하며 동일한 활동을 수행하기위한 기존의 여러 대안의 경우 가능한 대안은 모든 대안을 만들 수있는 가능한 여러 가지 방법의 합으로 구성됩니다.
다시 말해서, 우리가 세 가지 대안으로 활동을 수행하기를 원한다면 첫 번째 대안은 M 형, 두 번째는 N 형, 마지막은 W 형으로 수행 할 수 있습니다 : M + N + ... + W forms.
예제
이번에 테니스 라켓을 사고 싶은 사람을 상상해보십시오. 이를 위해 Wilson, Babolat 또는 Head 중에서 선택할 수있는 3 가지 브랜드가 있습니다..
그가 가게에 갔을 때 윌슨 라켓은 네 가지 모델의 두 가지 크기, L2 또는 L3 핸들로 구입할 수 있으며 끈으로 묶거나 묶을 수 있습니다..
반면 Babolat 라켓에는 세 개의 핸들 (L1, L2 및 L3)이 있으며 두 가지 모델이 있으며 줄이 있거나 끈이 없을 수도 있습니다.
다른 한편, 헤드 라켓은 두 개의 다른 모델에서 한 개의 손잡이 인 L2만으로 끈이 없습니다. 질문 :이 사람은 몇 가지 방법으로 라켓을 사야합니까??
M = 윌슨 라켓을 선택하는 방법의 수
N = Babolat 라켓을 선택하는 방법의 수
W = 헤드 라켓을 선택하는 방법의 수
우리는 승수 원리를 만듭니다.
M = 2 × 4 × 2 = 16 형식
N = 3 x 2 x 2 = 12 형식
W = 1 x 2 x 1 = 2 형식
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 가지 방법으로 라켓을 선택하십시오..
곱셈 원칙과 첨가제를 언제 사용해야 하는지를 알기 위해서는 활동에 수행해야 할 일련의 단계가 있는지 살펴 봐야하며 몇 가지 대안이있는 경우 첨가제.
순열
응용 프로그램
순열 (permutation)이 무엇인지 이해하려면, 차별화하고 사용시기를 알려면 조합이 무엇인지 설명하는 것이 중요합니다.
조합은 각 요소가 차지하는 위치에 관심이없는 요소의 배열이 될 것입니다.
반면에 순열은 각각이 차지하는 위치에 관심이있는 요소들의 배열 일 것입니다.
차이점을 더 잘 이해하기위한 예를 들어 봅시다..
예제
35 명의 학생들과 다음과 같은 상황을 상상해보십시오 :
- 선생님은 세 명의 학생이 수업을 청결하게 유지하거나 필요할 때 다른 학생들에게 자료를 전달할 수 있도록 도움을 원합니다..
- 선생님은 학급 대의원 (회장, 조수 및 금융가)을 임명하기를 원합니다..
해결책은 다음과 같습니다.
- Juan, María 및 Lucía의 투표로 수업을 정리하거나 자료를 전달하는 것으로 선택했다고 상상해보십시오. 분명히, 35 명의 가능한 학생 중 3 명으로 구성된 다른 그룹이 형성되었을 수 있습니다..
우리는 스스로에게 다음과 같은 질문을해야합니다. 학생들을 선택했을 때 각 학생이 차지하는 순서 나 위치가 중요합니까??
우리가 그것에 대해 생각해 보면, 그룹이 두 가지 과제를 동등하게 처리 할 것이기 때문에 실제로 중요하지 않음을 알 수 있습니다. 이 경우 요소의 위치에 관심이 없으므로 조합입니다..
- 존이 대통령으로, 마리아가 조수로, 루시아가 재정적으로 선택되었다고 상상해보십시오..
이 경우 주문이 중요할까요? 우리가 요소를 변경하면 결과가 바뀌기 때문에 대답은 '예'입니다. 즉, 후안을 대통령으로 두는 대신 그를 조수로, 마리아를 대통령으로 임명하면 최종 결과가 바뀔 것입니다. 이 경우 그것은 순열이다..
일단 차이가 이해되면, 우리는 순열과 결합의 공식을 얻을 것이다. 그러나 먼저 다른 식에서 사용되기 때문에 "n!"(계승 중)이라는 용어를 정의해야합니다..
n! = 1에서 n까지의 곱.
n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n
실수와 함께 사용 :
10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3,628,800
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120
순열의 공식은 다음과 같습니다.
nPr = n · / (n-r)!
그것으로 우리는 순서가 중요하고 n 요소가 다른 배열을 찾을 수 있습니다..
조합
응용 프로그램
이전에 언급했듯이 조합은 요소의 위치에 대해 신경 쓰지 않는 배열입니다.
공식은 다음과 같습니다.
nCr = n · (n-r) · r!
예제
교실 청소에 자원하고 싶은 14 명의 학생들이 있다면, 얼마나 많은 청소 그룹이 5 명씩 각 그룹을 구성 할 수 있습니까??
따라서 솔루션은 다음과 같습니다.
n = 14, r = 5
14C5 = 14! / (14-5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 그룹
참고 문헌
- Jeffrey, R.C., 확률과 심판의 기술, 케임브리지 대학 출판사. (1992).
- 윌리엄 펠러, "확률 이론 및 그 응용에 대한 소개", (Vol 1), 3rd Ed, (1968), Wiley
- Finetti, Bruno de (1970). "논리 기반과 주관적 확률 측정". 심리적 행위.
- 호그, 로버트 브이; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). 수학 통계 입문 (6 판). 어퍼 안장 강 : 피어슨.
- Franklin, J. (2001) 추측의 과학 : 파스칼 이전의 증거와 확률,존스 홉킨스 대학 출판부.