몫:
Multiplicative 원리 계산 기술 및 예
그 곱셈의 원리 는 요소를 나열 할 필요없이 솔루션을 찾기 위해 계산 문제를 해결하는 데 사용되는 기술입니다. 이것은 또한 조합 분석의 기본 원칙으로도 알려져 있습니다. 이벤트가 발생할 수있는 방법을 결정하기 위해 연속적인 곱셈을 기반으로합니다..
이 원칙은 결정 (d1)는 n 가지 방법으로 취할 수 있고 다른 결정 (d2)을 m 가지 방식으로 취할 수 있으며 결정을 내릴 수있는 총 수1 및 d2 n의 곱셈과 같을 것이다. * m. 원리에 따르면, 각각의 결정은 차례대로 만들어집니다 : 길의 수 = N1 * N2... * Nx 방법.
색인
- 1 예
- 1.1 예제 1
- 1.2 예 2
- 2 계산 기술
- 2.1 추가 원칙
- 2.2 순열의 원리
- 2.3 조합의 원리
- 3 연습 문제 해결
- 3.1 운동 1
- 3.2 운동 2
- 4 참고
예제들
예제 1
Paula는 친구와 함께 영화를 보러 갈 것이며, 입을 옷을 선택하기 위해 3 개의 블라우스와 2 개의 스커트를 분리합니다. 폴라는 얼마나 많은 방법으로 옷을 갈아 입을 수 있습니까??
솔루션
이 경우, Paula는 다음 두 가지 결정을 내려야합니다.
d1 = 3 개의 블라우스 중에서 선택 = n
d2 = 2 스커트 중에서 선택 = m
그런 식으로 폴라는 n을가집니다. * 의사 결정을 내리거나 다른 방법으로 드레싱하는 것.
n * m = 3* 2 = 6 가지 결정.
곱셈의 원리는 가능한 모든 결과를 나타내는 다이어그램 인 트리 다이어그램의 기술에서 유래하여 각각이 유한 횟수로 발생할 수 있습니다.
예제 2
마리오는 매우 목이 마르서 베이커리에서 주스를 사러 갔다. Luis는 그에게 대답하고 그에게 그가 크고 작은 두 가지 크기가 있다고 말합니다. 사과, 오렌지, 레몬, 포도의 네 가지 맛이 있습니다. Mario가 몇 가지 방법으로 주스를 선택할 수 있습니까??
솔루션
다이어그램에서 Mario는 주스를 선택하는 8 가지 다른 방법을 가지고 있으며, multiplicative 원칙에서와 마찬가지로이 결과는 n의 곱셈에 의해 얻어집니다.*m. 유일한 차이점은이 다이어그램을 통해 Mario가 주스를 선택하는 방법이 무엇인지 알 수 있습니다..
다른 한편, 가능한 결과의 수가 매우 클 때, 곱셈의 원리를 사용하는 것이 더 실용적입니다.
계산 기술
계산 기법은 직접 계산을하는 데 사용되는 방법이므로 주어진 집합의 요소가 가질 수있는 가능한 배열 수를 알고 있습니다. 이러한 기술은 다음과 같은 몇 가지 원칙을 기반으로합니다.
추가의 원리
이 원칙은 두 이벤트 m과 n이 동시에 발생할 수 없다면 첫 번째 이벤트 또는 두 번째 이벤트가 발생할 수있는 방법의 수는 m + n의 합이 될 것이라고 말합니다.
양식 수 = m + n ... + x 다른 양식.
예제
안토니오는 여행을하고 싶어하지만 어느 목적지를 결정하지는 않습니다. South Tourism Agency에서는 뉴욕 또는 라스베가스로 여행 할 수있는 프로모션을 제공하는 반면 East Tourism Agency에서는 프랑스, 이탈리아 또는 스페인으로 여행 할 것을 권장합니다. 안토니오가 제공하는 다양한 여행 대안?
솔루션
남부 관광청에서는 안토니오 (Antonio)에 뉴욕 (Las Vegas) 또는 라스베가스 (Las Vegas)의 2 가지 대안이 있으며, 동부 여행사 (East Tourism Agency)에는 3 가지 옵션 (프랑스, 이탈리아 또는 스페인)이 있습니다. 다른 대안의 수는 다음과 같습니다.
대안의 수 = m + n = 2 + 3 = 5 대안.
순열의 원리
집합을 구성하는 요소의 전부 또는 일부를 구체적으로 주문하고, 요소로 가능한 모든 배열을 세는 것을 용이하게합니다..
한 번에 모두 취한 n 개의 다른 요소의 순열 수는 다음과 같이 표현됩니다.
nPn = n!
예제
4 명의 친구가 사진을 찍고 싶어하며 여러 가지 양식을 주문할 수 있는지 알고 싶어합니다..
솔루션
당신은 사진을 찍기 위해 4 명을 배치 할 수있는 가능한 모든 방법을 알고 싶습니다. 그래서, 당신은해야한다 :
4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 가지 방법.
n 개의 사용 가능한 요소의 순열의 수를 r 개의 요소로 구성된 집합의 부분으로 취하면 다음과 같이 표현됩니다.
nPr = n! ÷ (n - r)!
예제
교실에는 10 개의 직책이 있습니다. 4 명의 학생들이 수업에 참여하는 경우, 학생들이 몇 가지 방법으로 위치를 차지할 수 있는가??
솔루션
의자 세트의 총 수는 10 개이며이 중 4 개만 사용됩니다. 주어진 수식을 사용하여 순열 수를 결정합니다.
nPr = n! ÷ (n - r)!
10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!
10P4 = 10! ÷ 6!
10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 게시물 채우기 5040 가지 방법.
집합의 사용 가능한 요소 중 일부가 반복되는 경우도 있습니다 (동일 함). 한 번에 모든 요소를 취하는 배열 수를 계산하려면 다음 수식이 사용됩니다.
nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!
예제
"늑대"라는 단어에서 얼마나 많은 단어가 네 글자로 형성 될 수 있습니까??
솔루션
이 경우 우리는 4 개의 요소 (문자)를 가지며 그 중 두 개가 정확히 동일합니다. 주어진 수식을 적용하면 얼마나 많은 단어가 있는지 알 수 있습니다.
nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!
4P2, 1.1 = 4! ÷ 2!*1!*1!
4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1
4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 개의 다른 단어.
조합의 원리
특정 순서없이 세트를 구성하는 요소 전부 또는 일부를 수정하는 것입니다. 예를 들어, XYZ 배열이있는 경우 ZXY, YZX, ZYX 배열과 동일합니다. 이는 동일한 순서가 아니더라도 각 배열의 요소가 동일하기 때문입니다.
세트 (n)의 일부 요소 (r)를 취할 때, 결합의 원칙은 다음 공식에 의해 주어진다 :
nCr = n! ÷ (n - r)! R!
예제
상점에서는 5 가지 종류의 초콜릿을 판매합니다. 얼마나 많은 다른 방법을 선택할 수 있습니다 4 초콜릿?
솔루션
이 경우 상점에서 판매되는 5 가지 유형의 초콜릿 4 가지를 선택해야합니다. 그들이 선택되는 순서는 중요하지 않으며, 또한 한 종류의 초콜릿이 두 번 이상 선택 될 수 있습니다. 수식을 적용하면 다음을 수행해야합니다.
nCr = n! ÷ (n - r)! R!
5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!
5C4 = 5! ÷ (1)! 4!
5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1
5C4 = 120 ÷ 24 = 4 가지 초콜릿을 선택할 수있는 5 가지 방법.
집합 (n)의 모든 원소 (r)를 취할 때, 결합의 원칙은 다음의 공식에 의해 주어진다 :
nCn = n!
해결 된 연습 문제
운동 1
너는 14 명의 야구 팀이있다. 게임에 대해 5 가지 위치를 몇 가지 방법으로 지정할 수 있습니까??
솔루션
세트는 14 개의 요소로 구성되어 있으며 5 개의 특정 위치를 지정하려고합니다. 즉, 그 명령은 중요합니다. 순열 공식은 n 개의 이용 가능한 원소가 r에 의해 형성된 세트의 부분에 의해 취해지는 곳에 적용된다.
nPr = n! ÷ (n - r)!
n = 14 및 r = 5 인 경우, 이는 화학식 :
14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!
14P5 = 14! ÷ (9)!
14P5 = 240 개의 9 가지 게임 위치를 지정하는 240 가지 방법.
운동 2
9 명의 회원이 한 가족이 여행을 계속하면서 연속적인 좌석으로 티켓을 구입하면 얼마나 많은 방법으로 앉아있을 수 있습니까??
솔루션
9 석을 연속적으로 차지할 9 개의 요소입니다..
P9 = 9!
P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 다른 착석 방식.
참고 문헌
- Hopkins, B. (2009). 이산 수학 교육 자료 : 강의실 프로젝트, 연혁 모듈 및 기사.
- Johnsonbaugh, R. (2005). 이산 수학 피어슨 교육,.
- Lutfiyya, L. A. (2012). 유한 및 이산 수학 문제 해결사. 연구 및 교육 협회 편집인.
- Padró, F. C. (2001). 이산 수학 정치. Catalunya.
- Steiner, E. (2005). 응용 과학 분야의 수학. 되돌리기.