요인 화 방법 및 예

그 인수 분해 다항식이 숫자, 문자 또는 둘 모두가 될 수있는 요소의 곱셈 형태로 표현되는 방법입니다. 용어들에 공통적 인 요소들을 그룹화하기 위해 그룹핑되어, 다항식은 여러 다항식들로 분해됩니다.

따라서, 인자가 서로 곱하면 결과는 원래의 다항식이됩니다. 인수 분해는 여러 가지 간단한 용어의 곱셈으로 변환 될 수 있기 때문에 대수 표현식을 사용할 때 매우 유용한 방법입니다. 예 : 2a² + 2ab = 2a _* (a + b).

용어 사이에 공통 요소가 없기 때문에 다항식을 인수 분해 할 수없는 경우가 있습니다. 따라서 이러한 대수 표현은 자신과 1 사이에서만 나눌 수 있습니다. 예 : x + y + z.

대수 표현에서 공통 요소는 그것을 구성하는 용어의 가장 큰 공약수입니다.

색인

• 1 요인 분석 방법
  • 1.1 공통 인자에 의한 인자
  • 1.2 예제 1
  • 1.3 예제 2
  • 1.4 그룹화에 의한 인수 분해
  • 1.5 예 1
  • 1.6 검사에 의한 인수
  • 1.7 예 1
  • 1.8 예 2
  • 1.9 주목할만한 제품으로 인수 분해
  • 1.10 예제 1
  • 1.11 예제 2
  • 1.12 예제 3
  • 1.13 Ruffini의 규칙을 고려함
  • 1.14 예제 1
• 2 참고

방법 고려하기

사례에 따라 적용되는 여러 가지 요인 분석 방법이 있습니다. 이들 중 일부는 다음과 같습니다.

공통 인자로 요소 분해하기

이 방법에서는 공통적 인 요소가 식별됩니다. 즉, 표현의 관점에서 반복되는 것들입니다. 그런 다음 분배 속성이 적용되고 최대 공약수가 제거되고 인수 분해가 완료됩니다.

즉 표현의 공통 요소가 식별되고 각 용어는 그 사이에 나뉘어집니다. 결과 항은 인수 분해를 표현하는 가장 큰 공통 인자와 곱해질 것입니다.

예제 1

요인 (b²x) + (b²y).

솔루션

먼저 각 용어의 공통 요소가 있는데,이 경우 b², 용어는 다음과 같이 공통 요소로 나뉩니다.

(b²x) / b² = x

(b²y) / b² = y.

인수 분해는 공통 인수에 결과 항을 곱하여 표현됩니다.

(b²x) + (b²y) = b² (x + y).

예제 2

팩터 라이즈 (2a)²b³) + (3ab²).

솔루션

이 경우 우리는 각 용어에서 "a"와 "b"로 반복되는 두 가지 요소가 있으며, 이는 두 가지 요소가 힘으로 상승한 것입니다. 이들을 고려하기 위해 먼저 두 용어를 긴 형식으로 분류합니다.

2_*~_*~_*b_*b_*b + 3a_*b_*b

요인 "a"는 두 번째 기간에 한 번만 반복되며 요소 "b"는 두 번 반복됩니다. 그래서 첫 번째 기간에는 단지 2, 인자 "a"와 "b"가 있습니다; 두 번째 임기에는 단 3.

그러므로 우리는 "a"와 "b"가 반복되고 각 용어에서 남겨진 요소들을 곱한 시간을 다음과 같이 씁니다 :

그룹화에 의한 요인 화

모든 경우에 다항식의 최대 공약수가 명확하게 표현되는 것은 아니기 때문에 다항식을 다시 쓸 수 있도록 다른 단계를 수행해야하므로.

이 단계 중 하나는 다항식의 항을 여러 그룹으로 그룹화 한 다음 공통 요소 방법을 사용하는 것입니다.

예제 1

요인 ac + bc + ad + bd.

솔루션

두 가지가 공통적 인 4 가지 요소가 있습니다. 첫 번째 용어는 "c"이고 두 번째 요소는 "d"입니다. 이 방법으로 두 용어가 그룹화되고 구분됩니다.

(ac + bc) + (ad + bd).

이제 공통 요소 방법을 적용 할 수 있습니다. 각 요소를 공통 요소로 나누고 그 공통 요소에 결과 용어를 곱하면 다음과 같습니다.

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

이제 두 항항에 공통적 인 이항을 얻습니다. 이것을 고려하기 위해 나머지 요인들이 곱해진다. 그런 식으로해야합니다 :

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (a + b).

검사에 의한 인수 분해

이 방법은 2 진 다항식 (trinomials)이라고도 불리는 이차 다항식을 계수하는 데 사용됩니다. 즉 도끼로 구성된² ± bx + c, 여기서 "a"의 값은 1과 다릅니다.이 방법은 삼각형이 x² ± bx + c 및 "a"의 값 = 1.

예제 1

팩터 x² + 5x + 6.

솔루션

당신은 x 형태의 2 진 3 항을가집니다.² ± bx + c. 먼저, 승산 때, "C"의 값을 초래할 두 숫자를 찾아야 인자 (즉, 6)과 그 합 계수 "B"같다고 5. 그 수는 2, 3이다 인 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

이런 식으로 식은 다음과 같이 단순화됩니다.

(x² + 2x) + (3x + 6)

각 용어는 다음과 같이 분해됩니다.

- (x² + 2x)에서 x (x + 2)

- (3x + 6) = 3 (x + 2)

따라서 식은 그대로 유지됩니다.

x (x + 2) + 3 (x + 2).

당신이 일반적인 이항식을 가지고 있기 때문에 식을 줄이기 위해 잉여 조건을 곱하면 다음과 같이해야합니다.

x² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

예제 2

요인 4a² + 12a + 9 = 0.

솔루션

당신은 ax라는 형태의 이차 삼각형을가집니다.² ± bx + c를 곱하고 그것을 모두 계수에 곱하기 위해 x의 계수²; 이 경우, 4.

4a² + 12a + 9 = 0

4a² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

도 16a² + 12a (4) + 36 = 0

4² ~² + 12a (4) + 36 = 0

이제 두 숫자를 함께 곱하면 (36 임), "C"값에서 시작하여 그 결과 것으로한다 6되는 용어 "A"의 계수의 가산 결과.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

이런 식으로 표현은 다음과 같은 것을 고려하여 다시 작성됩니다.² ~² = 4a _* 4a. 따라서 분배 속성은 각 용어에 적용됩니다.

(4a + 6) _* (4a + 6).

마지막으로, 표현식을 계수로 나눕니다.²; 즉, 4 :

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

표현식은 다음과 같습니다.

4a² + 12a + 9 = (2a + 3) _* (2a + 3).

눈에 띄는 제품을 고려해보기

이전의 방법으로 다항식을 완전히 인수하기 위해 매우 긴 과정이되는 경우가 있습니다.

그렇기 때문에 주목할만한 제품의 공식으로 표정을 개발할 수 있으며 따라서 프로세스가 더 간단 해집니다. 가장 많이 사용되는 주목할만한 제품은 다음과 같습니다.

- 두 칸의 차이 : (a² - b²) = (a-b) _* (a + b)

- 합계의 완벽한 제곱 : a² + 2ab + b² = (a + b)²

- 차이의 완벽한 제곱 : a² - 2ab + b² = (a - b)²

- 두 개의 큐브의 차이 : a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

- 두 개의 큐브 합계 : a³ - b³ = (a + b) _* (a² - ab + b²)

예제 1

요인 (5² - x²)

솔루션

이 경우 두 칸의 차이가 있습니다. 따라서 주목할만한 제품의 공식이 적용됩니다.

(a² - b²) = (a-b) _* (a + b)

(5² - x²) = (5-x) _* (5 + x)

예제 2

Factor 16x² + 40x + 25²

솔루션

그들은이 개 높은 제곱 용어를 식별하고 남아있는 기간은 두 번째 임기의 제곱근에 의해 첫 번째 용어의 제곱근에 의해 두 가지를 곱한 결과이기 때문에이 경우 우리는 합계의 완벽한 정사각형이.

~² + 2ab + b² = (a + b)²

요소를 계산할 때 첫 번째와 세 번째 항의 제곱근 만 계산됩니다.

√ (16x²) = 4x

√ (25²) = 5.

그러면 두 개의 결과 항이 연산의 부호로 분리되고 전체 다항식은 제곱됩니다.

16 배² + 40x + 25² = (4x + 5)².

예제 3

요인 27a³ - b³

솔루션

표현식은 큐브에 두 가지 요소가 제기 된 뺄셈을 나타냅니다. 이들을 고려하기 위해 큐브 차이의 주목할만한 제품의 공식이 적용됩니다.

~³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

따라서, 이항 각 용어의 입방 루트 인수 분해 제거하고, 상기 제 용어의 제곱 더하여 두번째 항에 의해 제의 생성물보다 제곱 번째 항 곱.

27a³ - b³

√√ (27a³) = 3a

³√ (-b³) = -b

27a³ - b³ = (3a-b) _* [(3a)² + 3ab + b²)]

27a³ - b³ = (3a-b) _* (9a² + 3ab + b²)

Ruffini의 규칙을 고려하여

이 방법은 degree가 2보다 큰 다항식을 가지고있을 때 표현식을보다 다차원적인 다항식으로 단순화하기 위해 사용됩니다.

예제 1

팩터 Q (x) = x⁴ - 9 배² + 4x + 12

솔루션

먼저 독립적 인 용어 인 12의 제수 인 숫자를 찾습니다. 이들은 ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 및 ± 12입니다..

그러면 x는 가장 낮은 값에서 가장 높은 값으로이 값으로 대체되므로 정확하게 어느 값으로 나누는 지 결정됩니다. 즉, 나머지는 0이어야합니다.

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

각 분배기에 대해서도 마찬가지입니다. 이 경우 발견 된 요소는 x = -1 및 x = 2입니다..

이제 Ruffini 방법이 적용됩니다.이 방법에 따라 표현의 계수가 정확하게 나눗셈에서 발견되는 요소로 나누어집니다. 다항 항은 지수가 높은 순서에서 낮은 순서로 정렬됩니다. 서열에서 뒤따라 오는 정도의 용어가 빠진 경우 0을 그 자리에 놓는다..

계수는 다음 이미지에서 볼 수있는 구성표에 있습니다..

첫 번째 계수는 낮추고 제수로 곱합니다. 이 경우 첫 번째 나눗셈은 -1이되고 결과는 다음 열에 배치됩니다. 그런 다음 계수의 값이 얻어진 결과와 수직으로 더해져 결과가 아래에 놓입니다. 그런 식으로 프로세스가 마지막 열까지 반복됩니다..

그런 다음 동일한 절차가 다시 반복되지만 두 번째 제수 (2)는 표현식이 여전히 단순화 될 수 있기 때문에 반복됩니다.

따라서, 획득 된 각각의 루트에 대해, 다항식은 항 (x-a)를 가지며, 여기서 "a"는 루트의 값이다 :

(x - (-1)) _* (x-2) = (x + 1) _* (x-2)

다른 한편, 이러한 용어는 Ruffini의 규칙 1 : 1과 -6을 곱해야하는데, 이는 성적을 나타내는 요소입니다. 이 방법으로 형성되는 표현식은 다음과 같습니다. (x² + x - 6).

Ruffini 방법으로 다항식을 인수 분해 한 결과는 다음과 같습니다.

x⁴ - 9 배² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x-2) _* (x² + x - 6)

끝내려면 이전 식에 나타나는 차수 2의 다항식을 (x + 3) (x-2)로 다시 쓸 수 있습니다. 따라서 최종 인수 분해는 다음과 같습니다.

x⁴ - 9 배² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x-2)_*(x + 3)_*(x-2).

참고 문헌

1. Arthur Goodman, L.H. (1996). 대수학 및 삼각 함수 분석 기하학. 피어슨 교육.
2. J, V. (2014). 다항식에 대해 자녀들을 가르치는 방법.
3. Manuel Morillo, A. S. (s.f.). 응용 수학과 기초 수학.
4. Roelse, P. L. (1997). 유한 필드에 대한 다항식 분해를위한 선형 방법 : 이론 및 구현. 에센 대학.
5. Sharpe, D. (1987). 반지와 Factorization.