다항식 (Solved Exercises)

그 다항식 는 두 표현식 또는 구성원의 평등을 높이는 문장으로 평등의 각 측면을 구성하는 용어 중 적어도 하나는 다항식 P (x)입니다. 이 방정식은 변수의 정도에 따라 명명됩니다..

일반적으로 방정식은 변수 중 하나 이상에 변수 또는 미지수라는 알려지지 않은 수량이있는 두 식의 평등을 설정하는 문입니다. 많은 종류의 방정식이 있지만 일반적으로 두 가지 유형으로 분류됩니다 : 대수 및 초월.

다항식은 수학 식에 관련된 하나 이상의 미지수만을 가질 수 대수식을 포함한다. 지수 (정도)에 따라서 그들 다섯 불합리한 이상일 정도의 일급 (선형), 2 급 (차), 삼차 (차), 4 학년 (사차)로 분류 될 수 데.

색인

• 1 특성
• 2 가지 유형
  • 2.1 학년
  • 2.2 2 차 학위
  • 2.3 리졸버
  • 2.4 고급
• 3 연습 문제 해결
  • 3.1 첫 번째 운동
  • 3.2 두 번째 운동
• 4 참고

특징

두 다항식 다항식과 동등으로 형성되는 식이다; 변수는 지수를 가지며, 여기서 알 수있다 (변수) 값의 승산의 유한 합으로되어, 즉 고정 된 숫자 (계수)의 값은 0을 포함한 양의 정수가 될 수있다.

지수는 방정식의 정도 또는 유형을 결정합니다. 가장 높은 값의 지수를 갖는 식의 항은 다항식의 절대 차수를 나타낼 것이다.

다항식은 대수 방정식이라고도하며 계수는 실수 또는 복소수가 될 수 있으며 변수는 문자로 표시되는 알 수없는 숫자입니다. 예 : "x".

P에서 "X"는 변수에 값을 대체하는 단계 (x)의 결과가 0 일 경우 (1), 다음이 값은 식 (이 용액이다)을 만족하고, 일반적으로 다항식의 루트라고다고.

다항식이 개발되면 모든 뿌리 나 솔루션을 찾고 싶습니다..

유형

변수의 수에 따라 그리고 지수의 정도에 따라 다항식을 구할 수있는 몇 가지 유형의 다항식이 있습니다..

따라서, 다음과 같이, 최초 용어들은 어느 정도는 자연수 (N)과 상기 제 기간 일 수있는 반면, 하나의 미지수를 갖는 제로인 다항식 다항식은, 표현 될 수있다 :

~_{n *} xⁿ + ~_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + ~_{0 *} x₀ = 0

장소 :

- ~_n, ~_n-1 및₀, 그들은 실제 계수 (숫자)입니다..

- ~_n 그것은 0과 다릅니다..

- 지수 n은 방정식의 차수를 나타내는 양의 정수입니다..

- x는 모색해야하는 변수 또는 알려지지 않은 변수입니다..

다항식 방정식의 절대 또는 그 정도는 다항식을 형성하는 모든 것 중에서 더 큰 값의 지수입니다. 그런 식으로 방정식은 다음과 같이 분류됩니다.

1 학년

또한 선형 방정식으로 알려진 제 정도의 다항식이, 정도 (최대 지수)는 1과 동일하다되는 것들이며, 다항식의 형식은 P (X) = 0이고; 선형 항과 독립 항으로 구성됩니다. 그것은 다음과 같이 쓰여있다.

ax + b = 0.

장소 :

- a와 b는 실수이고 a는 0이 아니다..

- ax는 선형 항이다..

- b는 독립적 인 용어이다..

예를 들어, 방정식 13x - 18 = 4x.

그것은 분명, 다른쪽으로 이동하지 않은 모든 평등의 한쪽 미지의 X를 포함하는 용어 및 그를 통과해야 선형 방정식을 해결하고 해결책을 얻으려면 :

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

그런 식으로, 주어진 방정식은 x = 2 인 단일 솔루션 또는 루트를가집니다..

2 학년

2 차 방정식이라고도 알려진 2 차 다항식은 차수 (최대 지수)가 2이고 다항식이 P (x) = 0 형태이며 2 차항으로 구성됩니다 하나는 선형이고 하나는 독립적입니다. 그것은 다음과 같이 표현된다.

도끼² + bx + c = 0.

장소 :

- a, b 및 c는 실수이고 a는 0이 아니다..

- 도끼² 는 2 차항이고, "a"는 2 차항의 계수이다..

- bx는 선형 항이고 "b"는 선형 항의 계수이다..

- c는 독립적 인 용어이다..

해결

일반적으로이 방정식에 대한 해는 방정식에서 x를 지워서 주어지며 다음과 같이 남게됩니다.

거기, (b² - 4ac)는 방정식의 판별 자라고하며이 표현식은 방정식이 가질 수있는 해의 수를 결정합니다.

- 예 (b² - 4ac) = 0 일 때 방정식은 double 인 단일 솔루션을 갖게됩니다. 즉, 두 가지 동일한 솔루션을 갖게됩니다..

- 예 (b² - 4ac)> 0 일 때, 방정식은 두 개의 다른 실제 해를 갖게 될 것입니다.

- 예 (b² - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

예를 들어, 방정식은 4x입니다.² + 10x - 6 = 0이면이를 해결하기 위해 우선 용어 a, b 및 c를 확인한 다음 수식에서 바꾸십시오.

a = 4

b = 10

c = -6.

두 번째 차수의 다항식이 세 가지 항을 갖지 않는 경우가 있습니다. 그래서 다르게 풀립니다.

- 2 차 방정식이 선형 항을 갖지 않는 경우 (즉, b = 0), 방정식은 ax² + c = 0. 문제를 해결하기 위해 x를 지운다.² 알 수없는 두 가지 징후가 고려 될 수 있음을 기억하면서 각 멤버에 제곱근이 적용됩니다.

도끼² + c = 0.

x² = - c ÷ a

예 : 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

x² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x₁ = 2.

x₂ = -2.

- 이차 방정식이 독립적 인 항을 갖지 않으면 (즉, c = 0) 방정식은 ax² + 이를 해결하기 위해서는 첫 번째 구성원에서 알 수없는 x의 공통 요소를 추출해야합니다. 방정식이 0이기 때문에 적어도 하나의 인자가 0과 같을 것입니다.

도끼² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

그런 식으로, 당신은해야한다 :

x = 0.

x = -b ÷ a.

예를 들어 방정식이 5x 인 경우² + 30x = 0. 첫 번째 요소 :

5 배² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

x와 (5x + 30) 인 두 가지 요인이 생성됩니다. 이들 중 하나가 0과 같고 다른 솔루션이 제공 될 것으로 간주됩니다.

x₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x₂ = -6.

주요 학위

더 큰 정도의 다항식은 3 차 이상부터 시작하여 모든 다항식의 일반 다항식으로 표현되거나 해결 될 수 있습니다.

~_{n *} xⁿ + ~_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + ~_{0 *} x₀ = 0

이것은 차수가 2보다 큰 방정식이 다항식의 인수 분해의 결과이기 때문에 사용됩니다. 즉 1 차 이상의 다항식의 곱셈으로 표현되지만 실제 근점은 없습니다.

이러한 유형의 방정식의 해법은 직접적입니다. 왜냐하면 두 요소의 곱셈이 0 인 경우 요소의 곱셈은 0과 같기 때문입니다. 따라서 발견 된 다항식은 각각의 인자를 0으로 일치시켜야한다..

예를 들어, 3 차 방정식 (입방) x³ + x² +4x + 4 = 0.이를 해결하려면 다음 단계를 따라야합니다.

- 용어는 다음과 같이 그룹화됩니다.

x³ + x² +4x + 4 = 0

(x³ + x² ) + (4x + 4) = 0.

- 팔다리는 미지의 공통 요소를 얻기 위해 세분화됩니다.

x² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x² + 4)_*(x + 1) = 0.

- 이 방법으로 두 가지 요소가 얻어지며,이 요소는 0이어야합니다.

(x² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- 인자 (x² + 4) = 0은 (x + 1) = 0 인 반면 실제 해결책은 없습니다. 따라서 솔루션은 다음과 같습니다.

(x + 1) = 0

x = -1.

해결 된 연습 문제

다음 방정식을 풀어 라.

첫 번째 운동

(2x² + 5)_*(x-3)_*(1 + x) = 0.

솔루션

이 경우 방정식은 다항식의 곱셈으로 표현됩니다. 즉, 그것은 인수 분해됩니다. 이를 해결하려면 각 요소가 0이어야합니다.

- 2 배² + 5 = 0, 해결책 없음.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = -1.

따라서 주어진 방정식은 x = 3 및 x = -1의 두 가지 해를 갖는다..

두 번째 운동

x⁴ - 36 = 0.

솔루션

그것은 더 빠른 해결책에 도달하기 위해 제곱의 차이로 재 작성 될 수있는 다항식을 받았다. 따라서 방정식은 다음과 같이 유지됩니다.

(x² + 6)_*(x² - 6) = 0.

방정식의 해를 찾기 위해 두 요인 모두 0과 같습니다.

(x² + 6) = 0, 해결책 없음.

(x² - 6) = 0

x² = 6

x = ± √6.

따라서 초기 방정식에는 두 가지 해법이 있습니다.

x = √6.

x = - √6.

참고 문헌

1. Andres, T. (2010). 수학 올림피아드 Tresure. 스프링 어. 뉴욕.
2. Angel, A. R. (2007). 초등 대수학 피어슨 교육,.
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7. Kreemly Pérez, M. L. (1984). 상급 대수 I.
8. Massara, N. C.-L. (1995). 수학 3.