3 선형 방정식과 그 해법

그 선형 방정식 그들은 하나 또는 여러 개의 미지수가있는 다항식입니다. 이 경우, 미지수는 힘으로 상승하지 않으며, 그들 사이에서 곱 해지지도 않습니다 (이 경우 방정식은 1 차 또는 1 차라고합니다).

방정식은 수학적 평등입니다. 하나 이상의 알 수없는 요소가 하나 이상있는 경우 알 수 없거나 알려지지 않은 요소가 하나 이상있는 경우입니다. 이 방정식을 풀려면 미지수의 가치를 알아 내야합니다..

선형 방정식의 구조는 다음과 같습니다.

~₀· 1 + a₁· X₁+ ~₂· X₂+... + a_n· X_n= b

어디에서₀, ~₁, ~₂,..., a_n 우리가 그들의 가치를 안다는 것을 계수의라고 부르는 실수이며, b는 또한 독립항이라고 불리는 알려진 실수입니다. 그리고 마침내 그들은 X₁, X_2,..., X_n 이는 알려지지 않은 것으로 알려져 있습니다. 이들은 값이 알려지지 않은 변수입니다..

1 차 방정식 시스템은 각 방정식에서 미지수의 값이 같은 선형 방정식의 집합입니다.

논리적으로, 선형 방정식 시스템을 푸는 방법은 미지수에 값을 할당하여 평등성을 검증 할 수 있습니다. 즉, 시스템의 모든 방정식이 동시에 충족되도록 미지수를 계산해야합니다. 우리는 다음과 같이 선형 방정식을 나타낸다.

~₀· 1 + a₁· X₁ + ~₂· X₂ +... + a_n· X_n = a_{n + 1}

b₀· 1 + b₁· X₁ + b₂· X₂ +... + b_n· X_n = b_{n + 1}

c₀· 1 + c₁· X₁ + c₂· X₂ +... + c_n· X_n = c_{n + 1}

... .

d₀· 1 + d₁· X₁ + d₂· X₂ +... + d_n· X_n = d_{n + 1}

 어디서?_0, ~₁,..., a_n,b₀,b₁,..., b_n ,c₀ ,c₁,..., c_n 등 우리 진짜 숫자와 해결할 수있는 미지의 X 있습니다₀,..., X_n ,X_{n + 1}.

각 선형 방정식은 선을 나타내므로 N 선형 방정식의 방정식 시스템은 공간에서 N 직선으로 그려집니다..

각 선형 방정식이 갖는 미지수의 수에 따라, 상기 방정식을 나타내는 선은 다른 차원, 즉 두 개의 미지수가있는 방정식으로 표시됩니다 (예 : 2 · X₁ + X₂ = 0)은 2 차원 공간에서의 선을 나타내고, 미지수가 3 개인 방정식 (예 : 2 · X₁ + X₂ - 5 · X₃ = 10)은 3 차원 공간에서 표현 될 것이다..

방정식 시스템을 풀 때 X의 값₀,..., X_n ,X_{n + 1} 줄 사이의 컷 포인트가되다..

방정식의 시스템을 해결함으로써 우리는 다른 결론에 도달 할 수 있습니다. 우리가 얻는 결과의 유형에 따라, 우리는 일곱 종류의 선형 방정식 시스템을 구별 할 수 있습니다 :

1- 불확실한 호환성

농담처럼 들릴지도 모르지만 방정식 시스템을 풀려고 할 때 스타일 0 = 0의 확실성에 도달 할 가능성이 있습니다.

이러한 유형의 상황은 방정식 시스템에 대한 무한한 해답이있을 때 발생합니다. 이것은 방정식 시스템이 방정식이 같은 선을 나타내는 것으로 밝혀 졌을 때 발생합니다. 그래픽으로 볼 수 있습니다.

우리가 취하는 방정식의 체계로서 :

해결할 2 개의 미지수가있는 2 개의 방정식을 가짐으로써 2 차원 평면에서 선을 나타낼 수 있습니다.

따라서 같은 방정식을 볼 수 있듯이 첫 번째 방정식의 모든 점은 두 번째 방정식의 점과 일치하므로 선이 갖는 점, 즉 무한대만큼 많은 상처를 갖습니다.

2- 호환되지 않음

이름을 읽을 때 우리의 다음 방정식 시스템은 해결책이 없을 것이라고 상상할 수 있습니다..

예를 들어이 방정식 시스템을 풀려고하면

그래픽 적으로 그것은 다음과 같습니다 :

두 번째 방정식의 모든 항을 곱하면 X + Y = 1은 2 · X + 2 · Y = 2가됩니다. 그리고이 마지막 표현식을 첫 번째 수식에서 뺀다면, 우리는

2 · X-2 · X + 2 · Y-2 · Y = 3-2

또는 무엇이 같은가?

0 = 1

이 상황에있을 때 방정식 시스템에서 표현되는 선이 평행하다는 것을 의미합니다. 즉 정의 상 절대로 절대로 절단되지 않습니다. 이런 식으로 시스템을 제시 할 때, 그것은 일관성이없는 것으로 말해진다..

3 결정된 지원

마지막으로 우리는 우리의 방정식 시스템이 하나의 해결책을 가지고있는 경우에 이릅니다. 교차하는 선과 교차점을 생성하는 선이있는 경우입니다. 예를 들어 보겠습니다.

이를 해결하기 위해 두 방정식을 추가하여

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

우리가 단순화하면 우리는 떠났습니다.

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

여기서 우리는 X = 2 및 Y = 3을 얻는 원래의 방정식에서 대체하거나 X = 2라고 쉽게 추론합니다.

시각적으로 그것은 :

선형 방정식의 시스템을 푸는 방법

이전 섹션에서 보았 듯이 더하기, 빼기, 곱셈, 나누기 및 대체와 같은 간단한 연산을 기반으로 2 개의 미지수 및 2 개의 방정식이있는 시스템의 경우 몇 분 만에 해결할 수 있습니다. 그러나 더 많은 방정식과 더 많은 미지수가있는 시스템에이 방법론을 적용하려고하면 계산이 지루하고 쉽게 실수 할 수 있습니다..

계산을 단순화하기 위해 몇 가지 해결 방법이 있지만 의심 할 여지없이 가장 널리 사용되는 방법은 Cramer 's Rule과 Gauss-Jordan의 제거입니다..

크레이머 방법

이 방법이 어떻게 적용되는지를 설명하기 위해서는 그 행렬이 무엇인지 알아야하고 그 행렬식을 찾는 법을 알아야한다.이 두 가지 개념을 정의하기 위해 괄호를 만들자..

하나 매트릭스 그것은 수평선과 수직선에 배치되고 직사각형의 형태로 배열 된 숫자 또는 대수 기호 세트 이상의 것입니다. 우리의 주제에서 우리는 우리의 방정식 시스템을 표현하는보다 단순화 된 방법으로 행렬을 사용할 것입니다.

예를 들어 보겠습니다.

선형 방정식 시스템이 될 것입니다.

요약 할 수있는이 간단한 방정식 시스템은 두 개의 2 × 2 행렬의 연산으로 2 × 1 행렬이됩니다..

첫 번째 행렬은 모든 계수에 해당하며 두 번째 행렬은 풀 수있는 미지수이며 등호 뒤에있는 행렬은 방정식의 독립항으로 식별됩니다

그 결정 요인 결과가 실수 인 행렬에 적용되는 연산입니다..

앞의 예제에서 찾은 행렬의 경우 행렬식은 다음과 같습니다.

행렬 및 행렬식의 개념이 정의되면 Cramer 방법이 무엇으로 구성되는지 설명 할 수 있습니다..

이 방법을 사용하면 시스템이 4 x 4 이상의 행렬에 대해 행렬식의 계산이 매우 어렵 기 때문에 시스템이 3 개의 미지수를 갖는 3 개의 수식을 초과하지 않는 한 선형 방정식 시스템을 쉽게 풀 수 있습니다. 선형 방정식이 3 개 이상인 시스템의 경우, Gauss-Jordan을 제거하는 방법이 권장됩니다.

앞의 예에서 Cramer를 사용하여 두 가지 결정 요인을 계산하면 두 가지 미지수의 값을 찾을 수 있습니다.

우리 시스템은 다음과 같습니다.

그리고 우리는 행렬로 표현되는 시스템을 가지고 있습니다 :

X 값은 다음과 같습니다.

분할의 분모에 위치한 행렬식의 계산에있어서, 우리는 독립적 인 항의 행렬에 대한 첫 번째 집단을 대체했습니다. 그리고 분열의 분모에서 우리는 원래의 행렬식을 결정 짓습니다..

우리가 얻은 Y를 찾기 위해 같은 계산을 수행 :

가우스 요르단 철거

우리는 정의한다. 확장 행렬 행렬의 끝 부분에 독립적 인 항을 더하는 방정식의 결과 인 행렬.

Gauss-Jordan을 제거하는 방법은 행렬 사이의 연산을 통해 확장 된 행렬을 대각선을 제외한 모든 필드에 0이있는 훨씬 간단한 행렬로 변환합니다. 여기서 대다수를 구해야합니다. 다음과 같이 :

여기서 X와 Y는 우리의 미지수에 해당하는 실수입니다..

가우스 - 요르단 (Gauss-Jordan)을 제거하여이 시스템을 풀어 보겠습니다.

우리는 이미 행렬의 왼쪽 하단에서 0을 얻었습니다. 다음 단계는 그것의 오른쪽 위 부분에 0을 얻는 것입니다..

우리는 행렬의 왼쪽 상단에서 0을 얻었습니다. 이제는 대각선을 1로 변환하면됩니다. 우리는 이미 Gauss-Jordan.

그러므로 우리는 결론에 도달했습니다 :

참고 문헌

1. vitutor.com.
2. 대수학 .us.es.
3. 선형 방정식 시스템 (날짜 없음). uco.es에서 회복.
4. 선형 방정식 시스템. 7 장. sauce.pntic.mec.es에서 가져옴.
5. 선형 대수학 및 기하학 (2010/2011). 선형 방정식 시스템. 1 장. 대수학과. 세비야 대학. 스페인 algebra.us.es에서 회복.